基礎問題精講演習38です。

$(2k+1)x(k-2)y-k-3=0 (直線1)$と$x+y+1=0 (直線2)$が垂直であるとき、次式が成立するのが分かると思います、

$$(直線1の傾き)×(直線2の傾き)=-1$$

これを使えば条件を絞って$k$の値を出すことが出来ます。

$$-\dfrac{2k+1}{k-2}×(-1)=-1 (k≠2)$$

$$(2k+1)+(k-2)=0$$

とこんな具合で出します。それで、回答のほうはこの工程をそれぞれの$x,y$の係数を用いて省略したものと思われます。簡単ですが、一応導出しておきますね。

直線：$l$[$a_1x+b_1y+c_1=0$]

直線：$m$[$a_2x+b_2y+c_2=0$]

(当然ですが、$(a_1,a_2,b_1,b_2≠0)$です)において、上と同じことをして

$$-\dfrac{a_1}{b_1}×(-\dfrac{a_2}{b_2})=-1$$

$$a_1 b_1+a_2 b_2=0$$

これを断りなしに使っているのだと思いますよ。

……ちなみに余談ですが上の式なんか内積の形そっくりじゃありませんか？もし時間があれば考えてみるのも悪くないかもしれません