n拡張できますか？

累乗のnです。A<B⇆A^n<B^nはA.Bにどんな制限いるのかとか、nを実数まで拡張できるのかとかが知りたいことです。

$A\lt B\leftrightarrows A^n\lt B^n$

$A,B\geq1$なら$n\in\mathbb{R}$でいいです。

$0\lt A,B\lt1$は大小逆転しますが$n\in\mathbb{R}$でいいです。

$A,B\lt0$なら成り立ちません。

・この同値関係って使用する機会ありますか？(抑えた方がいい？)・証明ってどうなります？(思いつきません。)・グラフとかで直感的な抑え方ありますか？(指数関数とかで考えてみましたがうまくいきませんでした。)

・この同値関係って使用する機会ありますか？

文字で書くとややこしいけど、実際はそんなに難しくないので直感的にわかると思います。

・証明ってどうなります？

$A\lt B\rightarrow A^n\lt B^n$の証明

対数取って$\log A^n-\log B^n=n\log\dfrac{A}{B}\lt0(\because A\lt B)$

逆も同様。

…$n\lt0$だと大小逆になりますね。ミスった。

・グラフとかで直感的な抑え方ありますか？

指数関数$2^x$と$3^x$あたりで比較しては。