n拡張できますか？

ベストアンサー

DoubleExpYui 2023/1/6

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  xyza 2023/1/6

  累乗のnです。A<B⇆A^n<B^nはA.Bにどんな制限いるのかとか、nを実数まで拡張できるのかとかが知りたいことです。

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  DoubleExpYui 2023/1/6

  $A\lt B\leftrightarrows A^n\lt B^n$

  
  

  $A,B\geq1$なら$n\in\mathbb{R}$でいいです。

  $0\lt A,B\lt1$は大小逆転しますが$n\in\mathbb{R}$でいいです。

  $A,B\lt0$なら成り立ちません。

  
  
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  xyza 2023/1/6

  ・この同値関係って使用する機会ありますか？(抑えた方がいい？)・証明ってどうなります？(思いつきません。)・グラフとかで直感的な抑え方ありますか？(指数関数とかで考えてみましたがうまくいきませんでした。)

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  DoubleExpYui 2023/1/7

  ・この同値関係って使用する機会ありますか？

  文字で書くとややこしいけど、実際はそんなに難しくないので直感的にわかると思います。

  
  

  ・証明ってどうなります？

  $A\lt B\rightarrow A^n\lt B^n$の証明

  対数取って$\log A^n-\log B^n=n\log\dfrac{A}{B}\lt0(\because A\lt B)$

  逆も同様。

  …$n\lt0$だと大小逆になりますね。ミスった。

  
  

  ・グラフとかで直感的な抑え方ありますか？

  指数関数$2^x$と$3^x$あたりで比較しては。