志望動機書で、「〜たい。」（例:看護師になりたい）の表現はだめだと学校の先生に聞いたのですが、実際そうなんですか?ネットで調べてみると、普通に使っている例文をよく見るのですが…。

「～たい」を使わずに志望動機書を書くことはかなり難しいと思います。おそらく先生は「～になりたい」という表現が良くないとおっしゃったのではないでしょうか。

小学生が「将来はサッカー選手になりたい」と言うのであれば特に問題はありませんが、志望動機書に「将来は看護師になりたい」と書くのはやや稚拙な感じがするので、次のような表現を使うべきだと思います

将来は看護師として働きたい。

将来は看護職に就きたい。

将来の進路として看護師を考えている。

将来は看護師として、病気やけがに苦しむ人を援助したい。

他にも様々な表現が考えられると思います。