• 解決済み

    @kakko_zuijin

    2022/8/27 11:44

    1 回答

    数学の質問です。

    以下の連立方程式は解けますか？

    {o+p=−kop=1o+q=−1oq=k\begin{cases} o+p=-k\\ op=1\\o+q=-1\\oq=k\end{cases}

    1. 高校生
    2. 数学
    1. 中学生
    2. 数学

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    @yukiyuki

    2022/8/27 13:03

    解と係数の関係より、それぞれo,po,p、o,qo,qを2解に持つ以下の方程式が成り立つ。

    {x2+kx+1=0x2+x+k=0\begin{cases} x^2 +kx +1 =0 \\ x^2 +x +k = 0\end{cases}

    どちらもoを解に持つので、2つの二次方程式は少なくとも1つ共通解を持つ必要があるから、共通解をaaと置くと、

    {a2+ka+1=0a2+a+k=0\begin{cases} a^2 +ka +1= 0\\ a^2 +a +k=0 \end{cases}

    となり、辺々引いて整理すると

    (k−1)(a−1)=0(k−1)(a−1) = 0

    よってk＝1またはa＝1であり、(a,k)＝(1,−2),(−1±3i2−1\pm\sqrt{3}i\over2,1)となる。

    (a,k)＝(1,−2)のとき、共通解はoであり、2つの二次方程式から、p＝1,q＝−2

    (a,k)＝(−1±3i2−1\pm\sqrt{3}i\over2,1)のとき、共通解はoとp,q(p＝q)であり、o＝−1±3i2−1\pm\sqrt{3}i\over2,p＝q＝−1∓3i2−1\mp\sqrt{3}i\over2である。

    以上より

    (o,p,q,k)＝(1,1,-2,-2),(−1±3i2−1\pm\sqrt{3}i\over2, −1∓3i2−1\mp\sqrt{3}i\over2, −1±3i2−1\pm\sqrt{3}i\over2,1)(複合同順)

    元の方程式に代入すると成り立っていることが分かると思います。初めての投稿なので、拙い点もあると思いますがご了承ください。間違ってたらすみません！


    返信(1件)

    @kakko_zuijin

    2022/8/28 9:24

    詳しい解説をありがとうございます！

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