解と係数の関係より、それぞれo,p、o,qを2解に持つ以下の方程式が成り立つ。
{x2+kx+1=0x2+x+k=0
どちらもoを解に持つので、2つの二次方程式は少なくとも1つ共通解を持つ必要があるから、共通解をaと置くと、
{a2+ka+1=0a2+a+k=0
となり、辺々引いて整理すると
(k−1)(a−1)=0
よってk=1またはa=1であり、(a,k)=(1,−2),(2−1±3i,1)となる。
(a,k)=(1,−2)のとき、共通解はoであり、2つの二次方程式から、p=1,q=−2
(a,k)=(2−1±3i,1)のとき、共通解はoとp,q(p=q)であり、o=2−1±3i,p=q=2−1∓3iである。
以上より
(o,p,q,k)=(1,1,-2,-2),(2−1±3i, 2−1∓3i, 2−1±3i,1)(複合同順)
元の方程式に代入すると成り立っていることが分かると思います。初めての投稿なので、拙い点もあると思いますがご了承ください。間違ってたらすみません!