数学の質問です。

解と係数の関係より、それぞれ$o,p$、$o,q$を2解に持つ以下の方程式が成り立つ。

$$\begin{cases} x^2 +kx +1 =0 \\ x^2 +x +k = 0\end{cases}$$

どちらもoを解に持つので、2つの二次方程式は少なくとも1つ共通解を持つ必要があるから、共通解を$a$と置くと、

$$\begin{cases} a^2 +ka +1= 0\\ a^2 +a +k=0 \end{cases}$$

となり、辺々引いて整理すると

$$(k−1)(a−1) = 0$$

よってk＝1またはa＝1であり、(a,k)＝(1,−2),($−1\pm\sqrt{3}i\over2$,1)となる。

(a,k)＝(1,−2)のとき、共通解はoであり、2つの二次方程式から、p＝1,q＝−2

(a,k)＝($−1\pm\sqrt{3}i\over2$,1)のとき、共通解はoとp,q(p＝q)であり、o＝$−1\pm\sqrt{3}i\over2$,p＝q＝$−1\mp\sqrt{3}i\over2$である。

以上より

(o,p,q,k)＝(1,1,-2,-2),($−1\pm\sqrt{3}i\over2$, $−1\mp\sqrt{3}i\over2$, $−1\pm\sqrt{3}i\over2$,1)(複合同順)

元の方程式に代入すると成り立っていることが分かると思います。初めての投稿なので、拙い点もあると思いますがご了承ください。間違ってたらすみません！