留学中に風邪をひいたり、病気になってしまったら市販の薬で済ませて大丈夫でしょうか？

基本的に、特に問題はないとおもいます。

ただし、一番確実なのは日本からいつも利用している薬を持っていくことだと思いますので、その辺の準備もしておいた方が良いかもしれません。