硝酸銀水溶液の陽イオンは $Ag^+$ で、塩化物イオン $Cl^-$ と会うとほとんど溶けない白色の沈殿 $AgCl$ を作る反応が起きます（$Ag^+ + Cl^- o AgCl ext{(s)}$）。他の陰イオンでは同じような白色沈殿ができにくいため、この白色沈殿ができれば溶液中に塩素（塩化物イオン）が含まれていると判断できます。

その通りです。硝酸銀水溶液中の陽イオンは $Ag^+$ で、塩化物イオン $Cl^-$ と出会うと難溶性の白色沈殿 $AgCl ext{(s)}$ がほぼ完全に生成します（$Ag^+ + Cl^- o AgCl ext{(s)}$）。ただし誤認に注意で、臭化物やヨウ化物は類似した沈殿を作りますが色がやや異なり（$Br^-$ はクリーム色、 $I^-$ は黄色）、また $AgCl$ は暗所で変色したりアンモニアに溶けてジアンミン銀錯イオン $[Ag(NH_3)_2]^+$ を作るため、確認には溶解試験や色の違い、溶解挙動を見ると確実です（例：$AgCl + 2NH_3 o [Ag(NH_3)_2]^+ + Cl^-$）。さらに定量的には溶解度積 $K_{sp}$ が非常に小さいため沈殿はほぼ完全に生じますが、共存イオンや酸・塩基条件で挙動が変わる点も覚えておくと良いです。