◽︎3がわかりません！教えてください。

共有点の座標が文字で与えられていますが、数で与えられているときと同じように面積を計算します。放物線で囲まれた部分なので、$\dfrac{1}{6}$ 公式が使えますね。

また、対称式の扱いには慣れておきましょう。「対称式はすべて基本対称式のみで表すことができる」は有名な事実です。解と係数の関係や、相加・相乗平均と組み合わせてよく出てきますね。

$$\begin{aligned}\alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\\alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\end{aligned}$$は頻出です。今回は対称式とは少し異なりますが、$$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$$を使います。

以下、解答例です。

放物線の共有点の $x$ 座標は、方程式 $x^2=-x^2+bx+c$ の解であるから、解と係数の関係により $\alpha+\beta=\dfrac{1}{2}b,\alpha\beta=-\dfrac{1}{2}c$ が成り立つ。

この $2$ 点を結ぶ直線の傾きが $1$ であることから、 $\alpha+\beta=\dfrac{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha}=1$ であり、$b=2$ が得られる。

題意の面積は

$$\begin{aligned}\int_\alpha^\beta\{(-x^2+bx+c)-x^2\}dx &=\int_\alpha^\beta-2(x-\alpha)(x-\beta)dx \\&=\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3\end{aligned}$$

と表されるから、これが $9$ となるとき

$$\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3=9 \iff \beta-\alpha=3 \quad(\because \alpha,\beta \text{ は実数})$$が成り立つ。したがって、

$$\begin{aligned}(\beta-\alpha)^2&=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \\\iff 9&=1+2c \\\iff c&=4\end{aligned}$$

が得られる。