解決済み

◽︎3がわかりません!教えてください。

ベストアンサー

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共有点の座標が文字で与えられていますが、数で与えられているときと同じように面積を計算します。放物線で囲まれた部分なので、16\dfrac{1}{6} 公式が使えますね。

また、対称式の扱いには慣れておきましょう。「対称式はすべて基本対称式のみで表すことができる」は有名な事実です。解と係数の関係や、相加・相乗平均と組み合わせてよく出てきますね。

α2+β2=(α+β)22αβα3+β3=(α+β)33αβ(α+β)\begin{aligned}\alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\\alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\end{aligned}は頻出です。今回は対称式とは少し異なりますが、(βα)2=(α+β)24αβ(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\betaを使います。


以下、解答例です。



放物線の共有点の xx 座標は、方程式 x2=x2+bx+cx^2=-x^2+bx+c の解であるから、解と係数の関係により α+β=12b,αβ=12c\alpha+\beta=\dfrac{1}{2}b,\alpha\beta=-\dfrac{1}{2}c が成り立つ。

この 22 点を結ぶ直線の傾きが 11 であることから、 α+β=β2α2βα=1\alpha+\beta=\dfrac{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha}=1 であり、b=2b=2 が得られる。


題意の面積は

αβ{(x2+bx+c)x2}dx=αβ2(xα)(xβ)dx=13(βα)3\begin{aligned}\int_\alpha^\beta\{(-x^2+bx+c)-x^2\}dx &=\int_\alpha^\beta-2(x-\alpha)(x-\beta)dx \\&=\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3\end{aligned}

と表されるから、これが 99 となるとき

13(βα)3=9    βα=3(α,β は実数)\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3=9 \iff \beta-\alpha=3 \quad(\because \alpha,\beta \text{ は実数})が成り立つ。したがって、

(βα)2=(α+β)24αβ    9=1+2c    c=4\begin{aligned}(\beta-\alpha)^2&=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \\\iff 9&=1+2c \\\iff c&=4\end{aligned}


が得られる。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

本当に本当にありがとうございます!分かりやすい説明で本当に助かりました🥹

そのほかの回答(2件)

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C🟰4だと思います