15の答えがイのthatになるのですが、どうしてそうなるのかがわかりません。whatではダメなのでしょうか？よろしくお願いいたします。

whatではダメですね、、、

whatは関係代名詞ですが、what自身に先行詞を含んで居ます。簡単に言うと、"the thing(man) that"が"what"と同じ意味をなします。whatだけで〜する$\textbf{「もの(ひと)」}$と言う意味になります。

つまり、

I cannot imagine the thing which made Mary get angry yesterday.

I cannot imagine the thing that made Mary get angry yesterday.

I cannot imagine what made Mary get angry yesterday.

この3つが正しい文章です。

I cannot imagine the thing what made Mary get angry yesterday.

だと、

私は昨日メアリーを怒らせた事事が分からない。

と言う意味不明な文となってしまいます。