• 解決済み

    @Rarara

    2023/12/31 9:39

    1 回答

    この大変な総和を簡単に求めることはできないでしょうか？

    かれこれ計算に30分かけても答えが合わず、ウォルフラムに打ち込んだところ答えと一致していました。

    模範解答と総和の立式が異なり、模範解答では、シグマ(k=1からn-1)k2−1k^2-1 から、写真の総和と同じ答えがでています。

    よろしくお願いします🤲

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    削除済みユーザー

    2023/12/31 15:02

    lmlm 平面において点 (1,1)(n−2,1),(1,n−2)(1,1)(n-2,1),(1,n-2) のなす直角三角形上の和をとることになりますが，領域を l=1l = 1 に平行な線分群にスライスして和をとっているところを，l+m=1l + m = 1 に平行な線分群にスライスするよう変えればよいと思います。

    ∑l=1n−2∑m=1n−1−ll+m+1=∑k=1n−1∑l+m=kl+m+1=∑k=1n−1∑l+m=kk+1=∑k=1n−1(k−1)(k+1)=∑k=1n−1k2−1\begin{aligned}& \sum_{l = 1}^{n - 2} \sum_{m = 1}^{n - 1 - l} l + m + 1 \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} \sum_{l + m = k} l + m + 1 \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} \sum_{l + m = k} k + 1 \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} (k - 1)(k + 1) \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} k^2 - 1\end{aligned}

    11 つ目の等号がスライスの仕方をかえている箇所です。


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