この大変な総和を簡単に求めることはできないでしょうか？

$lm$ 平面において点 $(1,1)(n-2,1),(1,n-2)$ のなす直角三角形上の和をとることになりますが，領域を $l = 1$ に平行な線分群にスライスして和をとっているところを，$l + m = 1$ に平行な線分群にスライスするよう変えればよいと思います。

$$\begin{aligned}& \sum_{l = 1}^{n - 2} \sum_{m = 1}^{n - 1 - l} l + m + 1 \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} \sum_{l + m = k} l + m + 1 \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} \sum_{l + m = k} k + 1 \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} (k - 1)(k + 1) \\&\quad= \sum_{k = 1}^{n - 1} k^2 - 1\end{aligned}$$

$1$ つ目の等号がスライスの仕方をかえている箇所です。