積分投稿!!

$$\begin{aligned}I &= \phi^{-1} \int_0^{2\pi} \frac{x}{1 - \phi^{-1}\cos^2 x} dx \\ &= \phi^{-1} \int_0^{2\pi} x \left(\sum_{k = 0}^\infty (\phi^{-1}\cos^2 x)^k\right) dx \\ &= \phi^{-1} \sum_{k = 0}^\infty \phi^{-k} \int_0^{2\pi} x \cos^{2k} x dx\end{aligned}$$

King Property から $\int_0^{2\pi} x \cos^{2k} x dx = \pi \int_0^{2\pi} \cos^{2k} x dx$ が言えるので，

$$\begin{aligned}I &= \pi\phi^{-1} \sum_{k = 0}^\infty \phi^{-k} \int_0^{2\pi} \cos^{2k} x dx \\ &= \pi \int_0^{2\pi} \frac{dx}{\phi - \cos^2 x} \\ &= 4\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\phi - \cos^2 x} \\ &= 4\pi \int_0^{\infty} \frac{\phi dt}{\phi^2 t^2 + 1} \quad (\cos 2x = t)\\ &= 4\pi\left[\arctan(\phi t)\right]_0^{\infty} \\ &= 2\pi^2\end{aligned}$$

$\zeta(2)$ と関係ありそうですが，どう関係しているのか判らなかったので，ご存じでしたら教えてください。