積分投稿!

$x=10a+bとする。$($aは0以上の整数、bは0から9の整数$)

このとき$\[frac{x}{10}]=a$である。

$b=0のとき$

$f(x)=f(a)+[\log_{10}\frac{10}{10a-10[\frac{10a-1}{10}]}]$

$=f(a)+[1-\log_{10}a]$

$=f(a)-[\log_{10}a]$

$b=1のとき$

$f(x)=f(a)+[\log_{10}\frac{10}{10a+1-10[\frac{10a+1-1}{10}]}]$

$=f(a)+[\log_{10}10]$

$=f(a)+1$

$bがそれ以外のとき$

$f(x)=f(a)+[\log_{10}\frac{10}{10a+b-10[\frac{10a+b-1}{10}]}]$

$=f(a)+[1-\log_{10}b]$

$=f(a)-[\log_{10}b]$

よって、$f(10a+b)がf(a)より大きくなるのは、b=1のときのみ$

$((0×10+1)×10+1)×10+1$とやっていくと、$10000を越えない最大の数はM=1111とわかる。$

ここから積分に移るが、まず

$$a_n=\int_{n}^{n+1}\lfloor x \rfloor x \lceil x \rceil dx$$

の値を求める。

$n<x<n+1のとき、$

$\lfloor x \rfloor=n$

$\lceil x \rceil=n+1$

より、

$$a_n=n(n+1)\int_{n}^{n+1}xdx$$

$$=\frac{1}{2}n(n+1)((n+1)^2-n^2)$$

$$\int_{0}^{25\cdot1111}\lfloor x \rfloor x \lceil x \rceil dx$$

$$=\sum_{n=0}^{25\cdot1111-1}a_n$$

$$=\frac{1}{4}((25\cdot1111)^4-(25\cdot1111)^2)$$

これを回答としておきますが、大きくなりすぎて計算したくないし自信がないです。