ちょっとした問題なのですが、 $$\left(1\right) I=\int \dfrac{e^x \sin(x)}{\

Question

ちょっとした問題なのですが、
$$\left(1\right) I=\int \dfrac{e^x \sin(x)}{\sqrt{1-e^{2x}}} dx　　　を求めよ$$
$$\left(2\right) \int_0^x \left(t^2-1\right)y\left(t\right) dt=x-1　　　を解け$$
$$\left(3\right) y'''\left(x\right)+y'\left(x\right)^2-y\left(x\right)\sin\left(x\right)=0　　　を解け$$を解ける方はいらっしゃいますか?
作問者＝@ARCCOTANGENT

Enigmathematics · Accepted Answer

(1)はいろいろと置換をして頑張ってみたのですが、積分不可能な気がして諦めました。初等関数しか扱えず申し訳ないです(後にできないことが発覚しました)

(2)は一応解けました、が問題自体に少し変なところがあったので、説明させてもらいます。

右辺の$-1$が式に矛盾を引き起こしていて、それは$x=0$を代入したときに左辺は$0$になるのに、右辺は$-1$になってしまうからです。なので僭越ながら修正ver.で解かせてもらいました。すみません🙇
まず部分積分でなんとか

$$\dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x} (t^2-1)y(t)dt=1　⇒　\dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^2y(t)dt-y(x)=1$$
$$ここで、\dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^2y(t)dtについて、$$
ちょっとここで積分された関数を$y_{(n)}　(n回積分)$とさせてもらいます

$$\dfrac{d}{dx}(x^2 y_{(1)}(x)+C)-2\dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x} ty_{(1)}(t)dt$$

$$=2xy_{(1)}(x)+x^2 y(x)-2\dfrac{d}{dx}\left( x y_{(2)}(x)+C -\int_{0}^{x} y_{(2)}(x)dt \right)$$
よって、
$$=2xy_{(1)}(x)+x^2 y(x)-2y_{(2)}(x)-2xy_{(1)}(x)+2y_{(2)}(x)$$
したがって、
$$y(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$$

これ解いた後で思ったんですが、普通に打ち消すように関数を決めればいいじゃんという結論に至ってあぁ、という気持ちになっています(笑)
(3)は解けるかわからないので後回しにさせてもらいます

ちょっとした問題なのですが、

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