• 解決済み

    @Rarara

    2023/3/8 17:21

    1 回答

    青線の部分はどうして言えるのでしょうか。

    近似ということは慣れておらず、しかも大事だと思うのでしっかりと理解したいです。

    お願いします。

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    削除済みユーザー

    2023/3/12 6:18

    　ある数の近似値は、その数をあらわす式中の微小項を 00 に置き換えて得られる値を意味します。たとえば円周率の近似値としてよく 3.143.14 が使われますが、これは円周率の真の値 3.141592⋯=3.14+0.001592⋯3.141592\cdots = 3.14 + 0.001592\cdots において 0.001592⋯0.001592\cdots を微小とみなして 00 に置き換えたものです。こうした置き換えからは当然誤差が生じるので、その誤差がどれほど大きいか、無視できる程度かの見積もりが一般には必要です。

    　Kh=Ch21−hK_h = \dfrac{Ch^2}{1 - h} において、hh を 00 に置き換えて得られる近似 Kh′=Ch2K'_h = Ch^2 からどの程度の誤差が生じるかを見積もってみます。Δ(h)=∣Kh−Kh′∣\Delta(h) = |K_h - K'_h| とおくと、

    Δ(h)=∣Ch31−h∣=∣C(h3+h4+h5+⋯ )∣\Delta(h) = \left|\frac{Ch^3}{1 - h} \right| = |C (h^3 + h^4 + h^5 + \cdots)|

    Δ(h)\Delta(h) は区間 [0,1][0,1] 上で大きく増減し、h→1h \to 1 なら +∞+\infty へ発散するけれども、h→0h \to 0 なら急速に 00 へ近づくことが見てとれます。すなわち、

    ・hh が 11 に近いなら誤差ははなはだ大きく Kh′K'_h は近似として用をなさない

    ・hh が 00 に近いなら誤差は随分小さく Kh′K'_h は良い近似となる

    ことが分かります。

    　化学を知らないのでよく分かりませんが、青線部は「酸が極めて弱いとき（hh が 11 に近いとき）を除いて、1−h≒11 - h \fallingdotseq 1 と近似しても誤差は小さく、近似が許される」と言っているように見えます。そういう意味だとしたら、その主張はたしかに妥当だと思います。


    返信(2件)

    @Rarara

    2023/3/12 17:57

    回答ありがとうございます。

    Δh=の二つ目の=の変形がわからないので教えていただきたいです。

    削除済みユーザー

    　ふたつ目の等号は等比級数の公式 11−x=1+x+x2+⋯\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots（∣x∣<1|x| < 1）を使っています。


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    近似にこんなワケがあったのは初めて知りました！もっと勉強します💪

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