数列の問題です。

　$p_{n + 1}, p_n$ についての漸化式も、$p_n, p_{n - 1}$ についての漸化式も、隣接する二項間の関係をあらわしているので本質的に同じものです。同じように扱って構いません。

　いま問題は、次で定められた数列

$$p_n = -\frac{2}{3}p_{n - 1} + 1; \quad p_0 = 1$$

の一般項を求めることです。ご存じのとおり、特性方程式 $x = -\dfrac{2}{3}x + 1$ の根 $x = \dfrac{3}{5}$ を求めることにより、$\{p_n\}$ の漸化式は

$$\left(p_n - \frac{3}{5}\right) = -\frac{2}{3}\left(p_{n - 1} - \frac{3}{5}\right)$$

の形へ書き換えられます。ここで $a_n = p_n - \dfrac{3}{5}$ とおけば、この式はさらに

$$a_n = -\frac{2}{3} a_{n - 1}$$

と書き換えられます。これは数列 $\{a_n\}$ の漸化式をあらわしています。さて、数列 $\displaystyle{\left\{p_n - \dfrac{3}{5}\right\}}$ の初項が分からないとのことですが、その初項というのは $\{a_n\}$ の初項に同じですので、

$$a_0 = p_0 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$

と求まります。よって $\{a_n\}$ は、初項 $\dfrac{2}{5}$、項比 $-\dfrac{2}{3}$ の等比数列ということになり、その一般項

$$a_n = \frac{2}{5}\left(-\frac{2}{3}\right)^n$$

が求まります。$a_n = p_n - \dfrac{3}{5}$ でしたから、

$$p_n = a_n + \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\left(-\frac{2}{3}\right)^n + \frac{3}{5}$$

となり、$\{p_n\}$ の一般項を得ます。