解決済み

[N]は整数Nを4で割った余りを表します。たとえば、[10]=2、[11]=3,[12]=0となります。また、AとBはどちらも2桁の整数とします。


(1)

[A]=0となるAはア個、[A]=1となるAはイ個、[A]=2となるAはウ個、[A]-3となるAはエ個あります。ア~エに当てはまる数は何ですか。


ここからの問題では、AとBは異なる整数とし、たとえばA=10、B=12で歩く組とA=12、B=10である組は異なる組とします。


(2)

[A]+[B]=2[A]+[B]=2となるAとBの組は何組ありますか。


(3)

[[A]+[B]]=2[[A]+[B]]=2となるAとBの組は何組ありますか。


(4)

[[A]+[B]]=[A]+[B][[A]+[B]]=[A]+[B]となるAとBの組は何組ありますか。


自力では解くことができなかったので、解説をしてほしいです。

ベストアンサー

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(1)A=4n+i(n=1,2,3,, i=0,1,2,3)A=4n+i(n=1,2,3,\cdots,\ i=0,1,2,3)とおける。

A=10,,99A=10,\cdots,99なので、次のとおりである。

ア.i=0i=0

n=3,,24n=3,\cdots,24のときなので22個


イ.i=1i=1

n=3,,24n=3,\cdots,24のときなので22個


ウ.i=2i=2

n=2,,24n=2,\cdots,24のときなので23個


エ.i=3i=3

n=2,,24n=2,\cdots,24のときなので23個


(2)A=4n+i,B=4m+jA=4n+i,B=4m+jとおく。

[A]+[B]=i+j=2[A]+[B]=i+j=2なので、(i,j)=(0,2),(1,1),(2,0)(i,j)=(0,2),(1,1),(2,0)のときである。

よって、(1)より

22×23+22×22+23×22=147422\times23+22\times22+23\times22=1474\text{組}


(3)[[A]+[B]]=[i+j]=2[[A]+[B]]=[i+j]=2なので、(i,j)=(0,2),(1,1),(2,0),(3,3)(i,j)=(0,2),(1,1),(2,0),(3,3)のときである。

よって(1),(2)より

1474+23×23=20031474+23\times23=2003\text{組}


(4)[i+j]=i+j[i+j]=i+jなので、i+j=0,1,2,3i+j=0,1,2,3のときである。

つまり

(i,j)=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)\begin{align*}(i,j)=&(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),\\&(1,0),(1,1),(1,2),\\&(2,0),(2,1),\\&(3,0)\end{align*}

のときであるから、

組計=22×(22+22+23+23)+22×(22+23+23)+23×(23+23)+23×23=9485\begin{align*}\text{組計}&=22\times(22+22+23+23)\\&+22\times(22+23+23)\\&+23\times(23+23)\\&+23\times23\\&=9485\text{組}\end{align*}



多分これでいいはずです。

返信(3件)

(1)と(2)は理解できました。しかし、(3)の答えは1980、(4)の答えは4928らしいので、できたらこの答えになるための計算を教えてほしいです。

(2),(3),(4)とAとBが異なる整数になるという条件が抜けています。


(2)について、(1,1)になるのは22×21なので

22×23+22×21+23×22=1474

です。

計算が同じなのは計算ミスでしょうか。


(3)について、(3,3)になるのは23×22なので

22×23+22×21+23×22+23×22=1980

になります。


(4)についても(0,0)(1,1)において、これが抜けているので

(総組数)=22×(21+22+23+23)+22×(22+21+23)+23×(22+22)+23×22

    =22(21+22+23+23+22+21+23+23+23+23)

    =4928


ではないでしょうか。

条件の読み飛ばし気をつけましょう。

読み落としの指摘ありがとうございます。

やっぱり一度紙に計算してからまとめるべきですね…。

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