[N]は整数Nを4で割った余りを表します。たとえば、[10]=2、[11]=3,[12]=0となります。また、AとBはどちらも2桁の整数とします。

(1)$A=4n+i(n=1,2,3,\cdots,\ i=0,1,2,3)$とおける。

$A=10,\cdots,99$なので、次のとおりである。

ア.$i=0$

$n=3,\cdots,24$のときなので22個

イ.$i=1$

$n=3,\cdots,24$のときなので22個

ウ.$i=2$

$n=2,\cdots,24$のときなので23個

エ.$i=3$

$n=2,\cdots,24$のときなので23個

(2)$A=4n+i,B=4m+j$とおく。

$[A]+[B]=i+j=2$なので、$(i,j)=(0,2),(1,1),(2,0)$のときである。

よって、(1)より

$$22\times23+22\times22+23\times22=1474\text{組}$$

(3)$[[A]+[B]]=[i+j]=2$なので、$(i,j)=(0,2),(1,1),(2,0),(3,3)$のときである。

よって(1),(2)より

$$1474+23\times23=2003\text{組}$$

(4)$[i+j]=i+j$なので、$i+j=0,1,2,3$のときである。

つまり

$$\begin{align*}(i,j)=&(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),\\&(1,0),(1,1),(1,2),\\&(2,0),(2,1),\\&(3,0)\end{align*}$$

のときであるから、

$$\begin{align*}\text{組計}&=22\times(22+22+23+23)\\&+22\times(22+23+23)\\&+23\times(23+23)\\&+23\times23\\&=9485\text{組}\end{align*}$$

多分これでいいはずです。