解決済み

△ABCの垂心をHとするとき,

∠BAC = 180° - ∠BHC であることを初等幾何で示してください.

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B\mathrm B から辺 AC \mathrm A \mathrm C に下ろした垂線の足を D\mathrm D 、点 C\mathrm C から辺 AB\mathrm A \mathrm B に下ろした垂線の足を E\mathrm E とおく。


BHC=BAC+ABH+ACH \angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C = \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C + \angle \mathrm A \mathrm B \mathrm H + \angle \mathrm A \mathrm C \mathrm H である。


ここで、ABD,ACE\triangle \mathrm A \mathrm B \mathrm D , \triangle \mathrm A \mathrm C \mathrm E の内角の和は 180°180° だから、

ABH=180°ADBBAC=90°BACACH=180°ACEBAC=90°BAC\angle \mathrm A \mathrm B \mathrm H = 180°- \angle \mathrm A \mathrm D \mathrm B - \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C =90°-\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C \\\angle \mathrm A \mathrm C \mathrm H = 180°- \angle \mathrm A \mathrm C \mathrm E - \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C =90°-\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C

よって、

BHC=90°BAC    BAC=90°BHC\begin{aligned}\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C &= 90° -\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C \\\iff \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C &= 90° -\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C\end{aligned}

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【訂正】

BHC=180°BAC    BAC=180°BHC\begin{aligned}\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C = 180° -\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C \\\iff \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C = 180° -\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C\end{aligned}

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