• 解決済み

    @eito0505

    2022/04/09

    1 回答

    △ABCの垂心をHとするとき，

    ∠BAC = 180° - ∠BHC であることを初等幾何で示してください．

    1. 高校生
    2. 数学
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    @sHlcNRe46

    2022/04/10

    点 B\mathrm B から辺 AC \mathrm A \mathrm C に下ろした垂線の足を D\mathrm D 、点 C\mathrm C から辺 AB\mathrm A \mathrm B に下ろした垂線の足を E\mathrm E とおく。


    ∠BHC=∠BAC+∠ABH+∠ACH \angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C = \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C + \angle \mathrm A \mathrm B \mathrm H + \angle \mathrm A \mathrm C \mathrm H である。


    ここで、△ABD,△ACE\triangle \mathrm A \mathrm B \mathrm D , \triangle \mathrm A \mathrm C \mathrm E の内角の和は 180°180° だから、

    ∠ABH=180°−∠ADB−∠BAC=90°−∠BAC∠ACH=180°−∠ACE−∠BAC=90°−∠BAC\angle \mathrm A \mathrm B \mathrm H = 180°- \angle \mathrm A \mathrm D \mathrm B - \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C =90°-\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C \\\angle \mathrm A \mathrm C \mathrm H = 180°- \angle \mathrm A \mathrm C \mathrm E - \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C =90°-\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C

    よって、

    ∠BHC=90°−∠BAC  ⟺  ∠BAC=90°−∠BHC\begin{aligned}\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C &= 90° -\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C \\\iff \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C &= 90° -\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C\end{aligned}

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    @sHlcNRe46

    2022/04/10

    【訂正】

    ∠BHC=180°−∠BAC  ⟺  ∠BAC=180°−∠BHC\begin{aligned}\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C = 180° -\angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C \\\iff \angle \mathrm B \mathrm A \mathrm C = 180° -\angle \mathrm B \mathrm H \mathrm C\end{aligned}

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