x^3+ax^2+bx+3=0がx=3、x=-1を解に持つ時、a、bの値を求めよという問題について、問は私が別の問題で持ったこの疑問を分かりやすくするために適当に作った三次方程式なのですが、

x^3+ax^2+bx+3‎を(x-3)(x+1)=x^2-2x-3で割ったあまりが(2a+b+7)x+(3a+9)であるが、x^3+ax^2+bx+3‎は(x-3)(x+1)で割り切れるから2a+b+7=0かつ3a+9=0よりa=-3、b=-1

としても解けるのですが、(2a+b+7)x+(3a+9)にx=3、x=-1を代入しても同じ答えになることに気が付きました。ですが、これが何故なのかあまりよく分かりません。あまりの部分のxに3、-1を代入するとなにか意味があるのでしょうか。よろしければ教えて頂ければ幸いです。