（1）はピストン移動前後のA室、（2）はピストン移動後のA室とB室について立式していたのですが何故ですか？何に着目すれば良いのか分かりませんでした。解説よろしくお願いします

結論から言うと、ある位置の状態(体積、温度、圧力)が変化できるかどうかに着目することが一つのコツではないかと思います。変化できるというはその前後関係から、式を立てることが出来ますからね。

もしどちらも変化しているようだったら、別の視点にはなりますが、きっと比較対象に拮抗している要素があると思うので、そこを突いて両者を評価すると良いです。

例えば$(1)$に関しては、B室の状態は圧力や温度、体積等の束縛条件が全く無いことからB室の前後変化はピストンの移動以外何もないことになります。よって、A室のみを考えることで完結することになりますので、前提として2つを比べないといけないのでA室の前後の2つを比較することで答えを得ます。

(言うなれば、B室を考えても全くの無駄ということですかね)

$(2)$に関しては、前と違いA,B室共に条件が束縛されており、まさに変化の余地だらけですので、ここは前後関係より変化した後のそれぞれの状態の$2$者を比較すると、圧力が等しいことから体積比が出るので答えが出せます。

補足ですが、ある地点に関して着目しているものは「状態方程式」、$2$者あるものや時間変化を見ているものは「ボイル・シャルの法則」を使うと良いですよ。