この問題の解説をお願いしたいです

(1) (答) $2\sqrt{13}\,\mathrm{cm}$

これは, 実際に図に書き込むと分かりやすいのではないかと思います。

$\mathrm{PD/\!/FQ}$ より, $\angle\mathrm{ADP}=30^\circ$ よって, $\mathrm{AP}=\sqrt{3}$

同様に $\mathrm{EP}=\mathrm{CQ}=4\sqrt{3}$, $\mathrm{GQ}=\sqrt{3}$

$\mathrm{CQ}$ 上に $\mathrm{CP}'=\sqrt{3}$ となる点 $\mathrm{P}'$ をとると, $\mathrm{PP}'=\mathrm{AC}=5$

$\mathrm{CQ}=4\sqrt{3}$, $\mathrm{CP}'=\sqrt{3}$ より, $\mathrm{P}'\mathrm{Q}=3\sqrt{3}$

$\angle\mathrm{PP}'\mathrm{Q}=\angle\mathrm{ACG}=90^\circ$ より, $\mathrm{PQ}=\sqrt{\mathrm{PP}'{}^2+\mathrm{P}'\mathrm{Q}^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}$

(2) (答) $4\sqrt{39}\,\mathrm{cm}$

(1)より, $\mathrm{PQ}=2\sqrt{13}$

また, $\mathrm{PF}=2\mathrm{EF}=8$

$\mathrm{Q}$ から $\mathrm{PF}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{I}$, $\mathrm{IF}=x$ とすると, $\mathrm{PI}=8-x$

$\triangle\mathrm{PQI}$ と $\triangle\mathrm{FQI}$ について, $\mathrm{QI}=\left(2\sqrt{13}\right)^2-(8-x)^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2-x^2$

これを解いて,

$$\begin{aligned}\left(2\sqrt{13}\right)^2-(8-x)^2 &= \left(2\sqrt{3}\right)^2-x^2\\\left(2\sqrt{13}\right)^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2 &= (8-x)^2-x^2\\4(13-3) &= (8-x+x)(8-x-x)\quad\text{※2 乗の差の公式の使用}\\40 &= 8(8-2x)\\5 &= 8-2x\\2x &= 3\\x &= \frac{3}{2}\\\therefore\mathrm{QI} &= \sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}\\&= \frac{\sqrt{2^2\cdot12-3^2}}{2}\\&= \frac{\sqrt{39}}{2}\end{aligned}$$

よって, $\text{平行四辺形}\,\mathrm{DPFQ}=\mathrm{PF}\cdot\mathrm{QI}=8\cdot\dfrac{\sqrt{39}}{2}=4\sqrt{39}$