赤の下線部の言ってる内容が分かりません。

わかりやすく、という要望にお応えするために少々長くなります。

まず、$y=f(x)$のグラフについて考えてみます。$f(x)=f(−x)$が成り立つとき、どのようなことが言えるでしょうか？

$f(3)=f(−3) , f(2)=f(−2) , f(1)=f(−1)$のようになるため、x座標の絶対値が等しければy座標も等しくなる、すなわちy軸に関して対称なグラフとなります。例えば、$f(x)=x^2$とすると、$f(−x)=(−x)^2=x^2=f(x)$なので、$f(x)=f(−x)$が成立し、ご存知の通り$y=x^2$のグラフはy軸に関して対称です。これが赤線の文中の「$x$に$−x$を代入しても式は変わらない」の意味です。

それと同様に、$f(x, y)=0$というグラフを考えてみましょう。先程の例における$f(x, y)=x^2−y$に該当します。

$f(x, y)=f(−x, y)$のときにy軸に関して対称となるのと同様に考えて、$f(x, y)=f(−x, −y)$が成り立つとき、x軸に関しても対称となり、両軸に関して対称なのですなわち原点に関して対称といえる訳です。本問の式で書くと、$f(x, y)=|x|+|y|−1=|−x|+|−y|−1=f(−x, −y)$ですね

ここから先は蛇足ですが、$f(x, y)=f(y, x)$が成り立つとき、グラフは直線$y=x$に関して対称となります。$y=a^x$と$y=log_a x$などがその一例です。