「ベクトル空間と次元」の記事について質問があります。

まず，

"与えられた微分方程式を満たす一次独立な解が $\sin, \cos$ しか無いと言えるのはなぜですか？"

という点についてですが，一次独立な解の組は $\sin x, \cos x$ の他にもたくさんあります．例えば $\sin x + \cos x, \sin x - \cos x$ という組も一次独立な解の組です．

そして他の解の組を使っても記事のその後の議論は全く同様に進めることができます．この記事では，（たくさんありうる）「一次独立な解の組」の中でもある程度見た目が簡単な $\sin x, \cos x$ を人為的に選んでいるのだと思われます．

（これは例えば平面ベクトルをどう表すか，という話と似ています．平面に一次独立な$2$つのベクトル $\vec{p}$ と $\vec{q}$ があれば，それを使って任意の平面ベクトルを $$a \vec{p}+b \vec{q}$$ という形に表すことができるのでした．$\vec{p}$ と $\vec{q}$ は一次独立ならばなんでもいいので，その選び方はたくさんあります．その中でもよく使われるのが $\vec{p} = (1,0)$ と $\vec{q} = (0,1)$ という組です．）

そして，どのような組を選んでも解全体としては同じものが得られる，というのが重要な点です． $\sin x, \cos x$ を使って$$A \sin x + B \cos x$$ と書かれる関数は，$$\frac{A+B}{2} (\sin x + \cos x)+\frac{A-B}{2}( \sin x - \cos x)$$ と変形することで，$\sin x + \cos x, \sin x - \cos x$ でも書けることがわかります．

つまり，$\sin x, \cos x$ を選んでも別の解の組を選んでも得られる結果は同じなので，（たまたま簡単に発見できた）$\sin x, \cos x$ というのを使っているということです．

最後になぜ解の空間が $2$ 次元になるのか，という点についてですが，これは微分方程式の形から解空間の次元を計算する一般的な理論の結果なので，簡単に説明することはできません．気になるのであれば微分方程式の教科書を参照するといいかもしれません．