2019年に札幌医科大学で出題された問題なんですけど

整数 $n$ を用いて、$10^{n} \leqq 5^{130} < 10^{n+1}$ と不等式で評価できれば、$5^{130}$ の桁数は $n+1$ であると言えます。

さらに

$$5^{130} = \dfrac{10^{130}}{2^{130}}$$

なので、$2^{130}$ についての不等式の評価を考えてみます。

$2^{130} = \left(2^{13}\right)^{10} = 8192^{10}$ なので

$$2^{13} < 10^4 \iff 2^{130} < 10^{40}$$

までわかります。

さらに

$$10^{3} < 2^{10} \iff 10^{39} < 2^{130}$$

ということで

$$10^{39} < 2^{130} < 10^{40}$$

です。

よって

$$10^{90} < 5^{130} < 10^{91}$$

となり、91桁ですね。

分かりやすく解説されている動画があります。

普通は常用対数を使って答えを求めると思いますが、この問題に関しては使わずに解く方法もあるようです。

https://www.youtube.com/watch?v=qHAgbvCPLAw&t=551s