解決済み

群論について質問です。

写真の補題 4.8.5の赤線部分で

なぜg1=In,g2=Img_1=I_n,g_2=I_mの場合に分けて考えてもいいんですか?

また、どのようにして定理 2.10.5からΦは

準同型Coker(TA)y+Im(TA)g1y+Coker(TB)Coker(T_A)∋y+Im(T_A)→g_1y+Coker(T_B)

を引き起こすことを示せるんですか?

ベストアンサー

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片方ずつ示せれば B=g1AImB=g_1AI_m について

Coker(TA)Coker(TB)\mathrm{Coker}(T_A) \cong \mathrm{Coker}(T_B)

C=InBg2C=I_nBg_2 について

Coker(TB)Coker(TC)\mathrm{Coker}(T_B) \cong \mathrm{Coker}(T_C)

となり, 結局 C=In(g1AIm)g2=g1Ag2C=I_n(g_1AI_m)g_2=g_1Ag_2 に対して

Coker(TA)Coker(TC)\mathrm{Coker}(T_A) \cong \mathrm{Coker}(T_C)

となるからでしょうか.


後ろの赤線部はよくわからない, というよりミスプリ? な気もしますが,

ϕ~ ⁣:Znxϕ(x)+ImTBZn/ImTB\tilde{\phi}\colon\mathbb{Z}^n\ni \boldsymbol{x}\mapsto\phi(\boldsymbol{x})+\mathrm{Im}T_B \in\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_B

とすると(ImTAZn\mathrm{Im}T_A\triangleleft\mathbb{Z}^n), ϕ~\tilde{\phi} は準同型で,

Kerϕ~=ϕ~1({ImTB})=ϕ1(ImTB)=ImTA\begin{split}\mathrm{Ker}\tilde{\phi}&= \tilde{\phi}^{-1}(\{\mathrm{Im}T_B\}) \\ &= \phi^{-1}(\mathrm{Im}T_B)\\ &= \mathrm{Im}T_A\end{split}

なので, 定理 2.10.5\rm{2.10.5} より

Znϕ~Zn/ImTBπZn/ImTA\begin{CD} \mathbb{Z}^n @>\tilde{\phi}>> \mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_B \\@V\pi VV \\ \mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_A\end{CD}

が可換図式となるような準同型 ψ ⁣:Zn/ImTAZn/ImTB\psi\colon\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_A\to \mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_B が存在する:

(ψπ)(x)=ϕ~(x)(\psi\circ\pi)(\boldsymbol{x}) = \tilde{\phi}(\boldsymbol{x})

でしょうか. π(x)=x+ImTA\pi(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}+\mathrm{Im}T_A, ϕ~(x)=g1x+ImTB\tilde{\phi}(\boldsymbol{x})=g_1\boldsymbol{x}+\mathrm{Im}T_B なので赤線部の式らしきものが現れます.

θ(x)=g11x\theta(\boldsymbol{x})=g_1^{-1}\boldsymbol{x}, θ~ ⁣:Znxθ(x)+ImTAZn/ImTA\tilde{\theta}\colon\mathbb{Z}^n\ni \boldsymbol{x}\mapsto\theta(\boldsymbol{x})+\mathrm{Im}T_A \in\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_A とすると

Znθ~Zn/ImTAπZn/ImTB\begin{CD} \mathbb{Z}^n @>\tilde{\theta}>> \mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_A \\@V\pi VV \\ \mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_B\end{CD}

を可換図式とする準同型 ψˉ ⁣:Zn/ImTBZn/ImTA\bar{\psi}\colon\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_B\to \mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_A が存在して

ψψˉ=idCokerTB,ψˉψ=idCokerTA\psi\circ\bar{\psi}=\mathrm{id}_{\mathrm{Coker}T_B},\quad \bar{\psi}\circ\psi=\mathrm{id}_{\mathrm{Coker}T_A}

なので……と, 後ろの主張にもつながるかと思います.


ただ, 上の ϕ~\tilde{\phi} について準同型定理より Zn/Kerϕ~Zn/ImTB\mathbb{Z}^n/\mathrm{Ker}\tilde{\phi}\cong\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_B で, Kerϕ~=ImTA\mathrm{Ker}\tilde{\phi}=\mathrm{Im}T_A から CokerTACokerTB\mathrm{Coker}T_A\cong\mathrm{Coker}T_B とか, ϕ\phi が同型で ϕ(ImTA)=ImTB\phi(\mathrm{Im}T_A)=\mathrm{Im}T_B であることから

Zn/ImTAx+ImTAϕ(x)+ImTBZn/ImTB\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_A\ni \boldsymbol{x}+\mathrm{Im}T_A \longmapsto \phi(\boldsymbol{x})+\mathrm{Im}T_B \in\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}T_B

が同型であることが直接示せると思うので, 長々と書いたやつは何か読み違えているかもしれません.

質問者からのお礼コメント

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ありがとうございます

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