片方ずつ示せれば B=g1AIm について
Coker(TA)≅Coker(TB)
C=InBg2 について
Coker(TB)≅Coker(TC)
となり, 結局 C=In(g1AIm)g2=g1Ag2 に対して
Coker(TA)≅Coker(TC)
となるからでしょうか.
後ろの赤線部はよくわからない, というよりミスプリ? な気もしますが,
ϕ~:Zn∋x↦ϕ(x)+ImTB∈Zn/ImTB
とすると(ImTA◃Zn), ϕ~ は準同型で,
Kerϕ~=ϕ~−1({ImTB})=ϕ−1(ImTB)=ImTA
なので, 定理 2.10.5 より
Znπ↓⏐Zn/ImTAϕ~Zn/ImTB
が可換図式となるような準同型 ψ:Zn/ImTA→Zn/ImTB が存在する:
(ψ∘π)(x)=ϕ~(x)
でしょうか. π(x)=x+ImTA, ϕ~(x)=g1x+ImTB なので赤線部の式らしきものが現れます.
θ(x)=g1−1x, θ~:Zn∋x↦θ(x)+ImTA∈Zn/ImTA とすると
Znπ↓⏐Zn/ImTBθ~Zn/ImTA
を可換図式とする準同型 ψˉ:Zn/ImTB→Zn/ImTA が存在して
ψ∘ψˉ=idCokerTB,ψˉ∘ψ=idCokerTA
なので……と, 後ろの主張にもつながるかと思います.
ただ, 上の ϕ~ について準同型定理より Zn/Kerϕ~≅Zn/ImTB で, Kerϕ~=ImTA から CokerTA≅CokerTB とか, ϕ が同型で ϕ(ImTA)=ImTB であることから
Zn/ImTA∋x+ImTA⟼ϕ(x)+ImTB∈Zn/ImTB
が同型であることが直接示せると思うので, 長々と書いたやつは何か読み違えているかもしれません.
質問者からのお礼コメント
ありがとうございます