写真の問題についてですが、 ①なぜ青線部の左辺の式を右辺の式に変形できるのですか？ ②∫logsinxdx(0,π)を黄

Question

写真の問題についてですが、

①なぜ青線部の左辺の式を右辺の式に変形できるのですか？

②∫logsinxdx(0,π)を黄線部の

∫logcos(θ/2)dθ(0,π)に代入したあとどのように計算すれば∫logsinθdθ(0,π)=-πlog2となるのですか？

以上の2点について解説お願いします。

補足

①についてですが、確かにsinxは(0,π)においてx=π/2で対称ですが、log(sinx)でも同様なことが言えるのでしょうか？またこれを確かめるにはグラフの概形を描くしかないのでしょうか？

@DoubleExpYui · Accepted Answer

補足について理解できればいいと思うので。

$\log$ の引数が対称なら $\log$ 自体も対称です。

$\theta\in (0,\pi/2)$ について $\log(\sin\theta)=\log(\sin(\theta+\pi/2))$ だから $f(x)=\log(\sin x)$ とすれば $f(x+\pi/2)=f(x-\pi/2)$

2

下の計算から(区間省略)

$\int f(x)\,dx=\pi\log2+\int f(x)\,dx+\int f(x)\,dx$