写真の問題についてですが、なぜ赤線部のように

$$|x_0-1|<\min\{\delta,\dfrac{1}{2}\} \iff |x_0-1|<\delta \text{ かつ } |x_0-1|<\dfrac{1}{2}$$ということです。このとき、

$|x_0-1|<\delta$ だから $|F(x_0)-4|<\dfrac{1}{2}$ が成り立つはずですが、$|x_0-1|<\dfrac{1}{2}$ なので $|F(x_0)-4|<\dfrac{1}{2}$ が成り立たないことがわかります。

この矛盾を導くために、$|x_0-1|<\min\{\delta,\dfrac{1}{2}\}$ としています。

$x_0$ と置き直すのには特別な意味はありませんが、定数を考えているだけの話です。$x$ のままで議論すると、一般の話なのか具体的な話なのか分かりにくくなってしまいます。今回は後者です。