• 解決済み

    @koki

    2023/10/02

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    @DoubleExpYui

    2023/10/04

    極座標形式に置き換えれば

    lim⁡(x,y)→(0,0)x(x2+y2)s=lim⁡r→0rcos⁡θrs=lim⁡r→0r1−scos⁡θ\begin{align*}\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x}{(x^2+y^2)^s}&=\lim_{r\to0}\dfrac{r\cos\theta}{r^s}\\&=\lim_{r\to0}r^{1-s}\cos\theta\\\end{align*}

    1−s>01-s\gt0であるから、∣cos⁡θ∣≦1|\cos\theta|\leqq1より∣r1−scos⁡θ∣≦r1−s→0(r→0)|r^{1-s}\cos\theta|\leqq r^{1-s}\to0(r\to0)なので、はさみうちの原理から

    lim⁡r→0r1−scos⁡θ=0\lim_{r\to0}r^{1-s}\cos\theta=0



    かなぁ。

    補足

    極座標形式変換の訂正

    lim⁡r→0r1−scos⁡θ⟹lim⁡r→0r1−2scos⁡θ\displaystyle\lim_{r\to0}r^{1-s}\cos\theta\Longrightarrow\lim_{r\to0}r^{1-2s}\cos\theta

    以下同様だが1−2s>01-2s\gt0なので答えは変わらない

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