この問題の解き方を教えてください。

2桁の自然数ってところで、もう文字設定を行います。テンプレートとも言うべきですよね

$$P=10a+b、Q=10b+a$$

こういう風に変形出来たらあとは条件通りに計算していきます。

$$P-Q=9(a+b)=63→　a-b=7　　\sqrt{P+Q}=\sqrt{11(a+b)}$$

次はルートの方を考えます。上の形が自然数になるのでルートを外せるようなやつを探して、$a+b=11m^2$みたいな形が理想ですね($mは適当な自然数です$)。

連立方程式を作って、

$$\begin{cases}a-b=7 \\a+b=11m^2\end{cases}$$

よって、

$$a=\dfrac{11m^2+7}{2},　　b=\dfrac{11m^2-7}{2}$$

ここで大事なのが$P,Qが2$桁の自然数であるところです。なので必然的に$a,bは1$桁になるはずです。これで解を絞り込めるので$m=1$の時だけしか成立できないのが分かると思います。

従って$a=9、b=2$となり

$$∴P=92$$

こんな感じですねー