解決済み

⑹がわかりません

詳しく教えて欲しいです

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⑵で求めた小物体の速さを v0v_0 とすると、v0=2ghv_0=\sqrt{2gh} です。


台と小物体の間の動摩擦力は μmg\mu' mg であり、小物体には xx 軸負の向きに、台には xx 軸正の向きに摩擦力がはたらくので、小物体および台の運動方程式と加速度は次のとおりです。⑶⑷

ma=μmg    a=μgMA=μmg    A=μmgM\begin{aligned}ma = -\mu' mg &\iff a=-\mu' g\\MA = \mu' mg &\iff A=\dfrac{\mu' mg}{M}\end{aligned}

ここで、小物体が台に対して静止したときの速さを vv とします。このとき台の速さも vv です。この vv の求め方は 22 通りあります。


まず、xx 軸方向に運動量保存則が成り立っているので、

mv0=Mv+mv    v=mM+mv0mv_0=Mv+mv \iff v=\dfrac{m}{M+m}v_0 とする方法です。ここから tt を求めればよいでしょう。


もうひとつは、小物体と台がともに速さ vv となる時間 tt が等しいとして、v,tv,t の連立方程式を解く方法です。

v=v0μgtv=μmgMt\begin{aligned}v&=v_0-\mu' gt \\v&=\dfrac{\mu' mg}{M}t\end{aligned}

ここから v=mM+mv0,t=Mv0μ(M+m)g=Mμ(M+m)2hgv=\dfrac{m}{M+m}v_0,t=\dfrac{Mv_0}{\mu' (M+m)g}=\dfrac{M}{\mu' (M+m)}\sqrt{\dfrac{2h}{g}} となります。

後者だと tt が一発で出ましたね。どちらの方法も重要です。


さて、ようやく本題の⑹です。

台が加速度 A=μmgMA=\dfrac{\mu' mg}{M} で運動したとき、速さが 00 から v=mM+mv0v=\dfrac{m}{M+m}v_0 になったので、その移動距離 XX は、

v2=2AX    (mM+mv0)2=2×μmgM×X    X=Mmμ(M+m)2h\begin{aligned}v^2=2AX &\iff \Bigr( \dfrac{m}{M+m}v_0 \Bigl)^2=2 \times \dfrac{\mu' mg}{M} \times X \\&\iff X=\dfrac{Mm}{\mu' (M+m)^2}h\end{aligned}

となります。

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