【2】⑷がわかりません

$$\begin{aligned}\int_{a}^{b} f(x) \ dx &= \int_{a}^{b} \dfrac{2x}{x^2+1} \ dx \\&= \left[ \log (x^2+1) \right]_{a}^{b} \\&= \log \dfrac{b^2+1}{a^2+1}\end{aligned}$$

となるので、この問題は $\dfrac{b^2+1}{a^2+1}$ の最大値を求めることにほかなりません。

よって、$a=0,b=2$ のとき、この定積分は最大値 $\log5$ をとります。