この立体の構造がつかめませんどなたかお願いします。

立体の問題を解くポイントは「どの平面に着目するか」です。問題用紙に図示するのは立体ではなく(もちろん立体も描ければ描いてください)平面です。

これができれば、立体の構造を掴めなくても大丈夫です。

今回だとどの平面で切ればよさそうでしょうか。対称性が利用できそうなものだと嬉しいですね。そうして $z$ 軸に垂直な平面で切るというアイディアが浮かんできそうです。

あとはその平面を図示して、面積を求めて、積分すれば完了です。積分は「足し合わせ」だということが理解できればイメージも湧きすくなると思います。

以下、解答です。

平面 $T:z=t$ で切断した立体を考える。このとき $0 \leqq t \leqq 1$ である。

立体 $C$ の平面 $T$ での切断面は、中心が $\mathrm{E}(0,0,t)$ 、半径 $r=1-t$ の円である。

また、立体 $P$ の平面 $T$ での切断面は、不等式 $x \geqq (t-1)^2$ で表される領域である。

したがって、

点 $\mathrm{A}((1-t)^2,(1-t)\sqrt{t(2-t)},t)$

点 $\mathrm{B}((1-t)^2,-(1-t)\sqrt{t(2-t)},t)$

点 $\mathrm{C}(1-t,0,t)$ とすると、

$C \cap P$ の平面 $T$ での切断面は、扇形 $\mathrm{EAB}$ から $\triangle \mathrm{EAB}$ を除いた図形である。

ここで、$\angle \mathrm{AEC} = \theta$ とすると、$\cos \theta =1-t$ であり、その断面積 $S$ は

$$S=\dfrac{1}{2}r^2(2\theta-\sin{2\theta})$$

となる。

よって、求める体積 $V$ は、

$$\begin{aligned}V &= \int_{0}^{1} S dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{2}\cos^2 \theta (2 \theta -\sin{2\theta}) \sin{\theta} d\theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos^{2} \theta (\theta - \sin\theta \cos\theta) d \theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{\theta \sin\theta (1-\sin^{2} \theta) - \sin^{2}\theta (1-\sin^{2}\theta) \cos \theta \} d \theta\end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned}I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin\theta (1-\sin^{2} \theta) d \theta \\J &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta (1-\sin^{2}\theta) \cos \theta d \theta\end{aligned}$$

とする。

$$\begin{aligned}I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin\theta (1-\sin^{2} \theta) d \theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{4} \theta (\sin\theta -\sin 3 \theta) d \theta \\&=\dfrac{1}{4} \left[-\theta \cos\theta +\sin \theta +\dfrac{1}{3}\theta \cos{3\theta}-\dfrac{1}{9}\sin\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\&= \dfrac{2}{9} \\ \\J &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta (1-\sin^{2}\theta) \cos \theta d \theta \\&= \int_{0}^{1} u^2 (1-u^2) du \quad (u=\sin \theta\text{ とおいた}) \\&= \left[\dfrac{1}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5 \right]_{0}^{1} = \dfrac{2}{15}\end{aligned}$$

よって、$$V=I-J=\dfrac{4}{45}$$である。

正直なところ、積分で面倒な計算が多いので自信はないですが、とりあえず答えは出ました。

はじめに書いたように、立体を立体のまま捉えようとするのではなく、どこかの平面で切り取って図示することを考えてみましょう。