解決済み

この立体の構造がつかめませんどなたかお願いします。

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立体の問題を解くポイントは「どの平面に着目するか」です。問題用紙に図示するのは立体ではなく(もちろん立体も描ければ描いてください)平面です。

これができれば、立体の構造を掴めなくても大丈夫です。


今回だとどの平面で切ればよさそうでしょうか。対称性が利用できそうなものだと嬉しいですね。そうして zz 軸に垂直な平面で切るというアイディアが浮かんできそうです。

あとはその平面を図示して、面積を求めて、積分すれば完了です。積分は「足し合わせ」だということが理解できればイメージも湧きすくなると思います。


以下、解答です。



平面 T:z=tT:z=t で切断した立体を考える。このとき 0t10 \leqq t \leqq 1 である。


立体 CC の平面 TT での切断面は、中心が E(0,0,t)\mathrm{E}(0,0,t) 、半径 r=1tr=1-t の円である。

また、立体 PP の平面 TT での切断面は、不等式 x(t1)2x \geqq (t-1)^2 で表される領域である。


したがって、

A((1t)2,(1t)t(2t),t)\mathrm{A}((1-t)^2,(1-t)\sqrt{t(2-t)},t)

B((1t)2,(1t)t(2t),t)\mathrm{B}((1-t)^2,-(1-t)\sqrt{t(2-t)},t)

C(1t,0,t)\mathrm{C}(1-t,0,t) とすると、

CPC \cap P の平面 TT での切断面は、扇形 EAB\mathrm{EAB} から EAB\triangle \mathrm{EAB} を除いた図形である。

ここで、AEC=θ\angle \mathrm{AEC} = \theta とすると、cosθ=1t\cos \theta =1-t であり、その断面積 SS

S=12r2(2θsin2θ)S=\dfrac{1}{2}r^2(2\theta-\sin{2\theta})

となる。


よって、求める体積 VV は、

V=01Sdt=0π212cos2θ(2θsin2θ)sinθdθ=0π2sinθcos2θ(θsinθcosθ)dθ=0π2{θsinθ(1sin2θ)sin2θ(1sin2θ)cosθ}dθ\begin{aligned}V &= \int_{0}^{1} S dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{2}\cos^2 \theta (2 \theta -\sin{2\theta}) \sin{\theta} d\theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos^{2} \theta (\theta - \sin\theta \cos\theta) d \theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{\theta \sin\theta (1-\sin^{2} \theta) - \sin^{2}\theta (1-\sin^{2}\theta) \cos \theta \} d \theta\end{aligned}

ここで、

I=0π2θsinθ(1sin2θ)dθJ=0π2sin2θ(1sin2θ)cosθdθ\begin{aligned}I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin\theta (1-\sin^{2} \theta) d \theta \\J &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta (1-\sin^{2}\theta) \cos \theta d \theta\end{aligned}

とする。

I=0π2θsinθ(1sin2θ)dθ=0π214θ(sinθsin3θ)dθ=14[θcosθ+sinθ+13θcos3θ19sinθ]0π2=29J=0π2sin2θ(1sin2θ)cosθdθ=01u2(1u2)du(u=sinθ とおいた)=[13u315u5]01=215\begin{aligned}I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin\theta (1-\sin^{2} \theta) d \theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{4} \theta (\sin\theta -\sin 3 \theta) d \theta \\&=\dfrac{1}{4} \left[-\theta \cos\theta +\sin \theta +\dfrac{1}{3}\theta \cos{3\theta}-\dfrac{1}{9}\sin\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\&= \dfrac{2}{9} \\ \\J &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta (1-\sin^{2}\theta) \cos \theta d \theta \\&= \int_{0}^{1} u^2 (1-u^2) du \quad (u=\sin \theta\text{ とおいた}) \\&= \left[\dfrac{1}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5 \right]_{0}^{1} = \dfrac{2}{15}\end{aligned}

よって、V=IJ=445V=I-J=\dfrac{4}{45}である。


正直なところ、積分で面倒な計算が多いので自信はないですが、とりあえず答えは出ました。

はじめに書いたように、立体を立体のまま捉えようとするのではなく、どこかの平面で切り取って図示することを考えてみましょう。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

ありがとうございます

そのほかの回答(1件)

 方程式 z=az = aaa0a10 \leq a \leq 1 を満たす任意定数)であらわされる平面を AA とします。そして、CPC \cap PAA による切断面 CPAC \cap P \cap A を考えます。ここで A=AAA = A \cap A なので、

CPA=CPAA=(CA)(PA)C \cap P \cap A = C \cap P \cap A \cap A = (C \cap A) \cap (P \cap A)

と変形できます。つまり CA, PAC \cap A,\ P \cap A の形をそれぞれ独立に考察してから、あとでその交わる領域を考えればよいということです。(CA, PAC \cap A,\ P \cap A の形を考えるには、xzxz 平面での断面図を助けにするのがよいと思います。)

 CAC \cap A は円板 x2+y2(1a)2x^2 + y^2 \leq (1 - a)^2 です。

 PAP \cap A は半平面 x(a1)2x \geq (a - 1)^2 です。

 すると (CA)(PA)(C \cap A) \cap (P \cap A) は円板と半平面との交わりだと分かります。あとは言わでもかも知れませんが、その領域の面積を S(a)S(a) として

01S(a)da\int_0^1 S(a)da

を計算すれば体積が求まります。


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