※少し長いので、以下では丁寧語ではなく常体で書きます。
記述を簡単にするために、
p(x)=−x−1x, q(x)=x−11, r(x)=x−1
とおく。
まず同次方程式
y′′+p(x)y′+q(x)y=0
を考える。方程式を見ると、ひとつの特殊解 y1(x)=x が見つかる。これと 1 次独立な解を y2(x) とすれば、y2(x) は次の公式で求まる:
y2(x)=y1(x)∫y1(x)2e−P(x)dx, P(x)=∫p(x)dx
ここで P(x) を計算すると
∫p(x)dx=−∫x−1xdx=−∫[1+x−11]dx=−[x+log(x−1)]
そして y2 右辺の積分を計算すると
∫y1(x)2e−P(x)dx=∫x2ex(x−1)dx=∫xexdx−∫x2exdx=xex+∫x2exdx−∫x2exdx=xex
したがって
y2(x)=x⋅xex=ex
となる。
次に元の非同次方程式
y′′+p(x)y′+q(x)y=r(x)
を考える。いま方程式の特殊解 y3(x) は定数変化法で次のように求まる:
y3(x)=y1(x)∫Δ(x)r(x)y2(x)dx−y2(x)∫Δ(x)r(x)y1(x)dx
ただしここで Δ(x) はロンスキアン
Δ(x)=y1′(x)y2(x)−y1(x)y2′(x)
である。y3 左側の積分を計算すると
∫Δ(x)r(x)y2(x)dx=∫−ex(x−1)(x−1)exdx=−x
また右側の積分を計算すると
∫Δ(x)r(x)y1(x)dx=∫−ex(x−1)(x−1)xdx=−∫e−xxdx=e−xx−∫e−xdx=e−x(x+1)
したがって
y3(x)=−x2−exe−x(x+1)=−x2−x−1
となる。
以上の結果をまとめれば、A,B を任意定数として一般解
y(x)=Ay1(x)+By2(x)+y3(x)≡Ax+Bex−x2−1
を得る。
質問者からのお礼コメント
ありがとうごさいます。
答えを見たら漸化式の関係で解くと書いてあったのですがわからなくて質問させていただきました。
一般解の求め方がわからなかったので大変助かりました。