下の問題がわからないです。途中式を詳しく書いていただけるとありがたいです。

※少し長いので、以下では丁寧語ではなく常体で書きます。

　記述を簡単にするために、

$$p(x) = -\frac{x}{x - 1},\ \ q(x) = \frac{1}{x - 1},\ \ r(x) = x - 1$$

とおく。

　まず同次方程式

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$$

を考える。方程式を見ると、ひとつの特殊解 $y_1(x) = x$ が見つかる。これと $1$ 次独立な解を $y_2(x)$ とすれば、$y_2(x)$ は次の公式で求まる：

$$y_2(x) = y_1(x) \int \frac{e^{- P(x)}}{y_1(x)^2}dx,\ \ P(x) = \int p(x) dx$$

ここで $P(x)$ を計算すると

$$\begin{aligned}\int p(x) dx &= - \int \frac{x}{x - 1} dx \\ &= - \int \left[1 + \frac{1}{x - 1}\right] dx \\ &= - [x + \log (x - 1)]\end{aligned}$$

そして $y_2$ 右辺の積分を計算すると

$$\begin{aligned}\int \frac{e^{-P(x)}}{y_1(x)^2}dx &= \int \frac{e^x(x - 1)}{x^2}dx \\ &= \int \frac{e^x}{x}dx - \int \frac{e^x}{x^2}dx \\ &= \frac{e^x}{x} + \int \frac{e^x}{x^2}dx - \int \frac{e^x}{x^2}dx \\ &= \frac{e^x}{x}\end{aligned}$$

したがって

$$y_2(x) = x \cdot \frac{e^x}{x} = e^x$$

となる。

　次に元の非同次方程式

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

を考える。いま方程式の特殊解 $y_3(x)$ は定数変化法で次のように求まる:

$$y_3(x) = y_1(x) \int \frac{r(x)y_2(x)}{\Delta(x)}dx- y_2(x) \int \frac{r(x)y_1(x)}{\Delta(x)}dx$$

ただしここで $\Delta(x)$ はロンスキアン

$$\Delta(x) = y_1'(x)y_2(x) - y_1(x)y_2'(x)$$

である。$y_3$ 左側の積分を計算すると

$$\int \frac{r(x)y_2(x)}{\Delta(x)}dx = \int \frac{(x - 1)e^x}{-e^x(x - 1)}dx = -x$$

また右側の積分を計算すると

$$\begin{aligned}\int \frac{r(x)y_1(x)}{\Delta(x)}dx &= \int \frac{(x - 1)x}{-e^x(x - 1)}dx \\ &= -\int e^{-x}x dx \\ &= e^{-x} x - \int e^{-x} dx \\ &= e^{-x}(x + 1)\end{aligned}$$

したがって

$$y_3(x) = -x^2 - e^x e^{-x}(x + 1) = -x^2 - x - 1$$

となる。

　以上の結果をまとめれば、$A, B$ を任意定数として一般解

$$y(x) = Ay_1(x) + By_2(x) + y_3(x) \equiv Ax + Be^x - x^2 - 1$$

を得る。