(1)

(1) 以下では点$E, I, J$を通る平面を$\pi$と呼ぶことにします。

　$\pi$と線分$DH$との交点を$K$とします。立方体の向かい合う面が平行であることから、三角形$EFI, JDK$は相似になります。すると$EF : FI = JD : DK$から、$DK = 2\mathrm{cm}$が分かります。$DK = BI = 2\mathrm{cm}$なので、対称性から$\pi$は辺$BC$と交点$L$をもち、$CJ = CL = 3\mathrm{cm}$であることが分かります。

　$\pi$と直線$CG$との交点を$C'$、直線$FG$との交点を$F'$、直線$HG$との交点を$H'$とします。$C'G = 8\mathrm{cm}$、$F'G = 12\mathrm{cm}$、$H'G = 12\mathrm{cm}$なので、三角錐$C'F'H'G$の体積は

$$8 \times 12 \times 12 \times 1/6 = 192\mathrm{cm}^3$$

となります。また、三角錐$C'CJL, F'FIE, H'HKE$の体積はそれぞれ

$$C'CJL = 3 \times 3 \times 2 \times 1/6 = 3,\ F'FIE = H'HKE = 4 \times 6 \times 6 \times 1/6 = 24$$

となります。さて問題の立体の体積は、三角錐$C'F'H'G$の体積から三角錐$C'CJL, F'FIE, H'HKE$の体積を引いたものなので、

$$192 - (3 + 24 + 24) = 141\mathrm{cm}^3$$

が答えとなります。

(2) 三角錐$HEFK, EFIK$の体積はそれぞれ

$$HEFK = 24\mathrm{cm}^3,\ EFIK = 24\mathrm{cm}^3,$$

となります。よって四角錐$IKHFE$の体積は$24 + 24 = 48\mathrm{cm}^3$となります。さて問題の立体の体積は、(1)で求めた図形の体積からこの四角錐の体積を引いたものなので、

$$141 - 48 = 93\mathrm{cm}^3$$が答えとなります。