Xを閉円板、Yを平面上の単連結な有界閉集合とするとき、XをYに写す連続な全射が存在する、という命題は真でしょうか。

単連結であることの定義に「局所連結であること」を含める場合は真，含めない場合は偽だと思います．

局所連結性を仮定する場合はHahn–Mazurkiewicz の定理(https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E5%85%85%E5%A1%AB%E6%9B%B2%E7%B7%9A)によって $[0,1]$ から $Y$ への連続全射があるので，閉円盤から $[0,1]$ への適当な連続全射と合成すればokです．

そうでない場合（単連結の定義として「弧状連結かつ基本群が $0$」を採用している場合など）は，$Y$ としてコンパクト（$\Leftrightarrow$ 有界閉）かつ単連結で局所連結でないような平面上の部分集合を取ってくると反例が作れます．（例えばくし空間 https://math.jp/wiki/%E3%81%8F%E3%81%97%E7%A9%BA%E9%96%93 とか．）

証明：$X$ から $Y$ への連続全射 $g$ が存在したと仮定して矛盾を導く．Hahn–Mazurkiewicz の定理より $[0, 1]$ から $X$ への連続全射 $f$ が存在するので，これを $g$ と合成すると $g \circ f \colon [0,1] \to Y$ は連続全射になる．一方 $Y$ は局所連結でないから，これはHahn–Mazurkiewicz の定理に矛盾する．