閉集合であるかの判定法と境界の求め方について教えてください。

$A$が閉集合ならば$A=\overline{A}\ (\overline{A}\text{は}A\text{の閉包})$である。

よって、ある$x\notin A$が存在して$x\in\overline{A}$が言えれば、$A$は閉集合でない。