「整域$R$の商体が存在し、それらは全て同型である」を証明したいのですが、証明の途中にある写像

$$g:Q(R)\rightarrow K;\\\overline{(x,a)}\mapsto xa^{-1}$$

を考える。

このとき、$(x,a),(y,b)\in Q(R) s.t.(x,a)\sim(y,b)$をとってくると同値関係から

$$xb=ya$$

が言える。両辺右から$(a^{-1}b^{-1})$をかけて

$$xb(a^{-1}b^{-1})=ya(a^{-1}b^{-1})\\xa^{-1}=yb^{-1}$$

よって$g$はwell-defで、

$$g\circ f(ab^{-1})=ab^{-1}\\f\circ g(\overline{(a,b)})=\overline{(a,b)}$$

より$g$は逆写像である。

したがって$f$は全単射である。$\square$

とのことです。