∮0→1 (arcsinx)/x dxを級数で表せ。という問題について質問です。

積分はその形です!

$\arcsin{x}$をマクローリン展開して、

$$\arcsin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}$$

両辺$x$で割って

$$\dfrac{\arcsin{x}}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)$$

とおく。ここで$0\leq x\leq 1$において

$$f_n(x)=\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n}\leq\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}$$

より、

$$\lim_{n\to\infty}\sup_x|f_n(x)|=0$$

なので、$f_n(x)$は$f(x)=0$に一様収束する。

こんな感じでしょうか？