解決済み

∮0→1 (arcsinx)/x dxを級数で表せ。という問題について質問です。


取り敢えず、arcsinをテイラー展開したものに、1/xをかけて積分したらいいのかな...ということまでは分かっています。しかしその後、∮と無限和を交換する際に、一様収束生を示す方法が分かりません。


質問をまとめると、Σ{n=0}^{∞} (2n-1)‼︎/(2n)‼︎ × x^2n/(2n +1) の一様収束性の示したをご教授頂きたいです。

ベストアンサー

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前回の質問から少し考えていたのですが、これ周回積分であってますか?

xx使うんだったら複素関数じゃないような気がして。

普通に

01arcsinxxdx\int_0^1\dfrac{\arcsin{x}}{x}dx

だったりしませんか?

返信(2件)

積分はその形です!

arcsinx\arcsin{x}をマクローリン展開して、

arcsinx=n=0(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1\arcsin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}

両辺xxで割って

arcsinxx=n=0(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n=n=0fn(x)\dfrac{\arcsin{x}}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)

とおく。ここで0x10\leq x\leq 1において

fn(x)=(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n(2n)!4n(n!)2(2n+1)f_n(x)=\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n}\leq\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}

より、

limnsupxfn(x)=0\lim_{n\to\infty}\sup_x|f_n(x)|=0

なので、fn(x)f_n(x)f(x)=0f(x)=0に一様収束する。


こんな感じでしょうか?


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