解決済み
igure

∮0→1 (arcsinx)/x dxを級数で表せ。という問題について質問です。


取り敢えず、arcsinをテイラー展開したものに、1/xをかけて積分したらいいのかな...ということまでは分かっています。しかしその後、∮と無限和を交換する際に、一様収束生を示す方法が分かりません。


質問をまとめると、Σ{n＝0}^{∞}　(2n-1)‼︎/(2n)‼︎ × x^2n/(2n +1) の一様収束性の示したをご教授頂きたいです。

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回答 1件

ベストアンサー

DoubleExpYui

前回の質問から少し考えていたのですが、これ周回積分であってますか？

xx使うんだったら複素関数じゃないような気がして。

普通に

∫01arcsin⁡xxdx\int_0^1\dfrac{\arcsin{x}}{x}dx

だったりしませんか？

いいね8
  • igure

    積分はその形です!

  • DoubleExpYui

    arcsin⁡x\arcsin{x}をマクローリン展開して、

    arcsin⁡x=∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1\arcsin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}

    両辺xxで割って

    arcsin⁡xx=∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n=∑n=0∞fn(x)\dfrac{\arcsin{x}}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)

    とおく。ここで0≤x≤10\leq x\leq 1において

    fn(x)=(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n≤(2n)!4n(n!)2(2n+1)f_n(x)=\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n}\leq\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}

    より、

    lim⁡n→∞sup⁡x∣fn(x)∣=0\lim_{n\to\infty}\sup_x|f_n(x)|=0

    なので、fn(x)f_n(x)はf(x)=0f(x)=0に一様収束する。


    こんな感じでしょうか？


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