解決済み

ヘビサイドの展開定理


P(x)P(x),Q(x)Q(x)xxの実数係数多項式で、QQの次数>PPの次数とする。

Q(x)=(xx1)n1(xx2)n2(xxk)nkQ(x)=(x-x_1)^{n_1} (x-x_2)^{n_2} \cdots (x-x_k)^{n_k}と因数分解できるものとする。

ここで、x1,x2,,xkx_1 , x_2 , \cdots , x_kは相異なる複素数。

定数aij(1ik,1jni)a_{ij}(1 \leqq i \leqq k , 1 \leqq j \leqq n_i)をうまく選べば、

P(x)Q(x)=i=1kj=1niaij(xxi)j\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} \dfrac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}

これにおいて、

apq=1(npq)!limxxpdnpqdxnpq(xxp)npP(x)Q(x)a_{pq}=\dfrac{1}{(n_p-q)!} \lim_{x \to x_p} \dfrac{d^{n_p-q}}{dx^{n_p-q}} {{(x-x_p)^{n_p} \dfrac{P(x)}{Q(x)}}}


この意味が全くわかりません。説明願います。



ベストアンサー

ベストアンサー

どこまで分かって、どこから分からないのでしょうか。

まずP(x)/Q(x)P(x)/Q(x)ですが、これは与えられた条件において

部分分数展開をしてやれば

P(x)Q(x)=i=1kj=1njaij(xxj)j\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_j}\frac{a_{ij}}{(x-x_j)^j}

が成り立ちます。


この式において、微分してやればapqa_{pq}の式が導出できます。

詳しくは下の定理2のところを参照してください。

https://manabitimes.jp/math/1221

そのほかの回答(1件)

有理関数P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)}1(xxi)j\dfrac{1}{(x-x_{i})^j}の和の形で表すことができる,ということです.ただし,xijx_{ij}は定数だと思ってください.

下の式は,実際にそれぞれの式を何倍すれば良いかというのを与えているだけです.部分分数分解のようなものだと思えばいいかもしれません.


高レベルな数学に憧れる気持ちはとてもわかるのですが(かっこいいですよね),貴方はもう少し基礎的な部分を勉強してからそういったところに手を出すべきではないか,と思います.

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