2つの整列集合が順序同型でない事の証明について。 (N,

Question

2つの整列集合が順序同型でない事の証明について。

(N,<)を自然数に通常の大小関係を入れた整列集合、(N,<‘)に関しては、N上の順序<’を次のように定める。奇数及び偶数同士は通常の大小関係を定め、常に奇数<‘偶数となるようにする。

つまり、(N,<)＝(1<2<3<...) (N,<’)＝(1<3<5<...<2<4<6<...)

この時、2つの整列集合は順序同型でないことを示せ。

背理法で示そうとしたんですが、順序同型写像の存在を仮定してからどうすれば良いか分かりません...ご教示いただきたいです。

@icedaisuki · Accepted Answer

$(\mathbb{N},<')＝(1<3<5< \cdots<2<4<6<\cdots)$ の「$2$ 未満の集合」には最大元が存在しない一方で，$(\mathbb{N},<)＝(1<2<3<\cdots)$ では任意の $x$ について「$x$ 未満の集合」に最大元が存在します．これにより$(\mathbb{N},<')$ 側の $2$ に対応するはずの元が $(\mathbb{N},<)$ 側にはないことがわかり，順序同型でないことがわかります．

2つの整列集合が順序同型でない事の証明について。

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