解決済み

『√244x が整数となるようなxの値のうち、最も小さい自然数を求めなさい。』

『√432a が整数となるようなaの値を小さいほうから3つ求めなさい。』


この2つの問題の解き方を教えてほしいです!


お願いします!

ベストアンサー

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k\sqrt{k} が整数となるためには、kk が平方数でなければなりません。

平方数とは、k=(整数)2k=(\text{整数})^2 となる整数 kk のことです。


(整数)2(\text{整数})^2 となるような kk を考えるために、素因数分解を使って考えていきましょう。



では1問目です。


244244 を素因数分解すると、244=22×61244=2^2 \times 61 となります。


244x\sqrt{244x} が整数となるということは、244x244x が平方数になるということです。

では平方数になるとはどういうことでしょうか。すべての素因数の指数が偶数になるということですね。


つまり、最小の自然数は x=61x=61 ということになります。

このとき、244x=(2×61)2=122\sqrt{244x}=\sqrt{(2\times61)^2}=122 です。



続いて2問目です。


432432 を素因数分解すると、432=24×33432=2^4 \times 3^3 となります。


したがって、432a432a が平方数となる最小の自然数 aa を考えると、すべての素因数の指数が偶数となるのは a=3a=3 のときですね。

a=3a=3 のとき、432a=24×34=(22×32)2432a=2^4\times3^4=(2^2\times3^2)^2 です。


つまり、自然数 nn を用いて a=3n2a=3n^2 の形で表されるとき、432a432a は平方数となります。

a=3n2a=3n^2 のとき、432a=24×34×n2=(22×32×n)2432a=2^4\times3^4\times n^2 =(2^2\times3^2\times n)^2 となって、確かに平方数になっていますね。


これを満たす aa のうち小さい方から3つを求めればよいので、n=1,2,3n=1,2,3 を代入して、a=3,12,27a=3,12,27 です。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

おぉ、なるほどです!


何か他の文字を使うことで求めることができるのですね!😄



とてもわかりやすい説明をありがとうございました!

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