『√244x が整数となるようなxの値のうち、最も小さい自然数を求めなさい。』

$\sqrt{k}$ が整数となるためには、$k$ が平方数でなければなりません。

平方数とは、$k=(\text{整数})^2$ となる整数 $k$ のことです。

$(\text{整数})^2$ となるような $k$ を考えるために、素因数分解を使って考えていきましょう。

では１問目です。

$244$ を素因数分解すると、$244=2^2 \times 61$ となります。

$\sqrt{244x}$ が整数となるということは、$244x$ が平方数になるということです。

では平方数になるとはどういうことでしょうか。すべての素因数の指数が偶数になるということですね。

つまり、最小の自然数は $x=61$ ということになります。

このとき、$\sqrt{244x}=\sqrt{(2\times61)^2}=122$ です。

続いて２問目です。

$432$ を素因数分解すると、$432=2^4 \times 3^3$ となります。

したがって、$432a$ が平方数となる最小の自然数 $a$ を考えると、すべての素因数の指数が偶数となるのは $a=3$ のときですね。

$a=3$ のとき、$432a=2^4\times3^4=(2^2\times3^2)^2$ です。

つまり、自然数 $n$ を用いて $a=3n^2$ の形で表されるとき、$432a$ は平方数となります。

$a=3n^2$ のとき、$432a=2^4\times3^4\times n^2 =(2^2\times3^2\times n)^2$ となって、確かに平方数になっていますね。

これを満たす $a$ のうち小さい方から３つを求めればよいので、$n=1,2,3$ を代入して、$a=3,12,27$ です。