以下の問題がどうしてもわからないので、数学得意という方はぜひ私にこの問題の解法を授けて欲しいです。

バナッハの不動点定理（縮小写像の原理）を使います．

$C([0,1])$ に $\sup$ ノルム（$x\in C([0,1])$ に対し $\|x\| =\sup_{0 \leq t \leq 1}|x(t)|$ というノルム）を入れることで距離空間と考えます．この距離による収束は関数の一様収束と同値で，連続関数の一様収束極限は連続だから，$C([0,1])$ はこの距離により完備距離空間となります．

写像 $T \colon C([0,1]) \to C([0,1])$ を$$(Tx)(t) = a(t)+k\int_0^1 \cos (tx(s))ds$$で定義します．すると，「積分方程式の解」は「写像 $T$ の不動点」と言い換えられます．バナッハの不動点定理

「（空でない）完備距離空間上の縮小写像はただ1つの不動点を持つ」

を考えると，$T$ が縮小写像であることを示せば問題が解けることになります．

以下，$T$ が縮小写像になることを証明します．

$T$ が縮小写像というのは「ある$0 \leq q <1$ があり，任意の $x,y \in C([0,1])$ について $\|Tx-Ty\| \leq q \|x-y\|$ となる」ことなので，$Tx-Ty$ を計算してみます．

三角関数の和積の公式や $|\sin \theta| \leq \max\{1,|\theta|\}$ を使うと

$$\begin{align*}|(Tx)(t)-(Ty)(t)| &\leq |k|\int_0^1 \left| \cos (tx(s))- \cos (ty(s))\right|ds\\&=|k||\int_0^1 \left|-2 \sin\left(t \cdot \frac{x(s)+y(s)}{2}\right) \cdot \sin\left(t \cdot \frac{x(s)-y(s)}{2}\right)\right|ds\\&\leq |2k| \int_0^1 \left|1 \cdot t \cdot \frac{x(s)-y(s)}{2}\right|ds\\&\leq |k|\int_0^1\|x-y\|ds\\&=|k|\|x-y\|\end{align*}$$

となります．よって$$\|Tx-Ty\|=\sup_{0 \leq t \leq 1}|(Tx)(t)-(Ty)(t)| \leq |k|\|x-y\|$$が成り立ち．$|k|<1$ だったからこれは写像 $T$ が縮小写像であることを表しています．