解決済み

f(x,y)=tanh(x^(2)ーx+y^(2))として、fx(x,y)とfy(x,y)を求めよ

という問題で、微分のやり方がわからず悩んでいます。どのように解くのか教えていただきたいです。よろしくお願いします。

ベストアンサー

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y=tanhx=exexex+exy = \tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

に対して

yx=4(ex+ex)2=1cosh2x\begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial x} &= \dfrac{4}{(e^x + e^{-x})^2} \\&= \dfrac{1}{\cosh^2 x}\end{aligned}

であることを用いれば、

f(x,y)=tanh(x2x+y2)f(x,y) = \tanh (x^2 - x + y^2)

に対して、ぞれぞれ

fx(x,y)=fx=2x1cosh2(x2x+y2)fy(x,y)=fy=2ycosh2(x2x+y2)f_{x}(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{2x - 1}{\cosh^2 (x^2 - x + y^2)} \\f_{y}(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{2y}{\cosh^2 (x^2 - x + y^2)}

であるとわかります。


まずは tanh{g(x,y)}\tanh \left\{g(x,y)\right\} を偏微分して、その後に g(x,y)g(x,y) を偏微分します。


つまり g(x,y)=x2x+y2g(x,y) = x^2 - x + y^2 と置いて、

f(x,y)=tanh{g(x,y)}f(x,y) = \tanh \left\{g(x,y)\right\}

として

fx=fggx\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial g} \dfrac{\partial g}{\partial x}

というように考えます。連鎖律です。


連鎖率についてはこちらを見ると勉強になりますよ!

https://manabitimes.jp/math/1303

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

なるほど、そのように解くのですね。

詳しく教えてくださりありがとうございます!とてもわかりやすかったです。

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