f(x,y)=tanh(x^(2)ーx＋y^(2))として、fx(x,y)とfy(x,y)を求めよ

$$y = \tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

に対して

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial x} &= \dfrac{4}{(e^x + e^{-x})^2} \\&= \dfrac{1}{\cosh^2 x}\end{aligned}$$

であることを用いれば、

$$f(x,y) = \tanh (x^2 - x + y^2)$$

に対して、ぞれぞれ

$$f_{x}(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{2x - 1}{\cosh^2 (x^2 - x + y^2)} \\f_{y}(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{2y}{\cosh^2 (x^2 - x + y^2)}$$

であるとわかります。

まずは $\tanh \left\{g(x,y)\right\}$ を偏微分して、その後に $g(x,y)$ を偏微分します。

つまり $g(x,y) = x^2 - x + y^2$ と置いて、

$$f(x,y) = \tanh \left\{g(x,y)\right\}$$

として

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial g} \dfrac{\partial g}{\partial x}$$

というように考えます。連鎖律です。

連鎖率についてはこちらを見ると勉強になりますよ！

https://manabitimes.jp/math/1303