解決済み

以前、マクローリン展開の解説を聞きましたが、収束半径がわかりません

解説お願いできますか?

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(1x2)12(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} のマクローリン展開を求めるに当たってまず

f(x)=(1+x)αf(x)=(1+x)^{\alpha}

のマクローリン展開を求めましょう。

最後に xx2,α12x \to -x^2, \alpha \to -\frac{1}{2} と置き換えれば良いからです。


マクローリン展開ですので、まずf(x)f(x)kk 階微分を求めましょう。


f(1)(x)=α(1+x)α1f^{(1)}(x)=\alpha (1 + x)^{\alpha - 1}

f(2)(x)=α(α1)(1+x)α2f^{(2)}(x)=\alpha (\alpha - 1) (1 + x)^{\alpha - 2}

f(3)(x)=α(α1)(α2)(1+x)α3f^{(3)}(x)=\alpha (\alpha - 1) (\alpha - 2) (1 + x)^{\alpha - 3}


一般化するとこうです。

f(k)(x)=α(α1)(αk+1)(1+x)αkf^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}


マクローリン展開では f(k)(0)f^{(k)}(0) を用いるのでした。

ここでは

f(k)(0)=α(α1)(αk+1)f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)

です。


マクローリン展開の定義から

f(x)=k=0f(k)(0)k!xk=k=0α(α1)(αk+1)k!xk=k=0F(α,k)xk\begin{aligned}f(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \\&= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!} x^k \\&= \sum_{k=0}^{\infty} F(\alpha,k) x^k\end{aligned}

と表せます。

ただし

F(α,k)=α(α1)(αk+1)k!F(\alpha,k) = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}

を定めました。

問題に戻ると

(1x2)12=k=0F(12,k)(x2)k(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} F(-\frac{1}{2}, k) (- x^2)^k

と表せますね。


準備は完了しました。

収束半径 rr は、ダランベールの判定法より

1r=limkF(12,k+1)F(12,k)=limk12kk+1=1\dfrac{1}{r} = \lim_{k \to \infty} \left|\dfrac{F(-\frac{1}{2}, k+1)}{F(-\frac{1}{2}, k)} \right| =\lim_{k \to \infty} \left| \dfrac{-\frac{1}{2} - k}{k + 1} \right| =1


r=1\therefore r = 1 です。実は α\alpha の値とは関係なく、r=1r = 1 です。

補足

ダランベールの判定法については

https://manabitimes.jp/math/1329

こちらに載っています。


級数の収束半径を求めるのに(個人的には)最もよく用いられる方法です。

返信(4件)

解説ありがとうございます!

以前マクロリーン展開の解説を他の方にお願いしたのですが、こちらで合ってるのでしょうか?解き方が少し違うような気がしますが、同じなのでしょうか?

収束半径は理解できました!

見切れていたので追加しました

補足

お手数ですがお願いします…

そのかたの回答も合ってるように見えますよ。


私の回答の中の

(1x2)12=k=0F(12,k)(x2)kF(α,k)=α(α1)(αk+1)k!(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} F(-\frac{1}{2}, k) (- x^2)^k \\F(\alpha,k) = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}

の二式を見れば、同じだとわかるはずです。


自分で α=12\alpha = -\dfrac{1}{2} を代入して計算してみてください。

ありがとうございます!

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大変助かりました

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