以前、マクローリン展開の解説を聞きましたが、収束半径がわかりません

$(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}$ のマクローリン展開を求めるに当たってまず

$$f(x)=(1+x)^{\alpha}$$

のマクローリン展開を求めましょう。

最後に $x \to -x^2, \alpha \to -\frac{1}{2}$ と置き換えれば良いからです。

マクローリン展開ですので、まず$f(x)$ の$k$ 階微分を求めましょう。

$f^{(1)}(x)=\alpha (1 + x)^{\alpha - 1}$

$f^{(2)}(x)=\alpha (\alpha - 1) (1 + x)^{\alpha - 2}$

$f^{(3)}(x)=\alpha (\alpha - 1) (\alpha - 2) (1 + x)^{\alpha - 3}$

一般化するとこうです。

$$f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$$

マクローリン展開では $f^{(k)}(0)$ を用いるのでした。

ここでは

$$f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)$$

です。

マクローリン展開の定義から

$$\begin{aligned}f(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \\&= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!} x^k \\&= \sum_{k=0}^{\infty} F(\alpha,k) x^k\end{aligned}$$

と表せます。

ただし

$$F(\alpha,k) = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$$

を定めました。

問題に戻ると

$$(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} F(-\frac{1}{2}, k) (- x^2)^k$$

と表せますね。

準備は完了しました。

収束半径 $r$ は、ダランベールの判定法より

$$\dfrac{1}{r} = \lim_{k \to \infty} \left|\dfrac{F(-\frac{1}{2}, k+1)}{F(-\frac{1}{2}, k)} \right| =\lim_{k \to \infty} \left| \dfrac{-\frac{1}{2} - k}{k + 1} \right| =1$$

$\therefore r = 1$ です。実は $\alpha$ の値とは関係なく、$r = 1$ です。