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解き方がわからないので解説お願いします

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一次変換によって元の直線状のある1点 (x,y)(x, y) がどのように新しい点 (X,Y)(X, Y ) に移るかを考えれば良いです。


(1)(1)

(XY)=(4536)(xy)=(4536)(x2x1)\begin{pmatrix} X \\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 2x - 1\end{pmatrix}


となります。

これを連立方程式に書き直せば、


{X=4x5(2x1)=6x+5Y=3x+6(2x1)=9x6\begin{cases}X = 4x - 5(2x-1) = -6x + 5 \\ Y = -3x + 6(2x - 1) = 9x -6 \end{cases}


ここから xx を消去して XXYY の関係式を得ましょう。

上の式から x=5X6x = \dfrac{5-X}{6} なので、下段の式に代入して

Y=95X66=32(X1)Y = 9 \cdot \dfrac{5-X}{6} - 6 = - \dfrac{3}{2}(X - 1)

直線 y=32(x1)y = - \dfrac{3}{2}(x - 1) \cdots(答)


(2)(2)も全く同様に計算してみましょう。

(XY)=(3162)(xy)=(3162)(x3x2)=(24)\begin{pmatrix} X \\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 3x - 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4\end{pmatrix}

つまり、直線 3xy=23x - y = 2 上の点は全てある1点 (2,4)(2, -4) に移るということですね。


(2,4)(2, -4) \cdots(答)

補足

この記事は参考になるはずです。

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