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一般化二項定理を用います。公式についてはhttps://manabitimes.jp/math/1018にのってました。

(1+x)α=k=0F(α,k)xk(1 + x)^\alpha = \sum_{k = 0}^\infty F(\alpha,k) x^k

により,

(1+x)1/2=k=0F(1/2,k)xk=k=0(12)(32)(k+12)k!xk=k=0(1)k13(2k1)2kk!xk\begin{align}(1 + x)^{-1/2} &= \sum_{k = 0}^\infty F(-1/2,k) x^k\\&= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdots \left(-k + \dfrac{1}{2}\right)}{k!} x^k \\&= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{(-1)^k \cdot 1\cdot 3 \cdot\cdots \cdot(2k-1)}{2^k \cdot k!} x^k\end{align}

となりますから,xxx2-x^2 を代入して,

(1x2)1/2=k=0(1)k13(2k1)2kk!(x2)k=k=013(2k1)2kk!x2k\begin{align}(1 -x^2)^{-1/2} &= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{(-1)^k \cdot 1\cdot 3 \cdot\cdots \cdot(2k-1)}{2^k \cdot k!} (-x^2)^k\\&= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{1\cdot 3 \cdot\cdots \cdot(2k-1)}{2^k \cdot k!} x^{2k}\end{align}


収束半径は1ですね。

補足

ちなみに,収束半径が1になる理由は,このサイトに乗っています。https://manabitimes.jp/math/1018

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