誰か解説をお願いします

一般化二項定理を用います。公式についてはhttps://manabitimes.jp/math/1018にのってました。

$$(1 + x)^\alpha = \sum_{k = 0}^\infty F(\alpha,k) x^k$$

により，

$$\begin{align}(1 + x)^{-1/2} &= \sum_{k = 0}^\infty F(-1/2,k) x^k\\&= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdots \left(-k + \dfrac{1}{2}\right)}{k!} x^k \\&= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{(-1)^k \cdot 1\cdot 3 \cdot\cdots \cdot(2k-1)}{2^k \cdot k!} x^k\end{align}$$

となりますから，$x$ に $-x^2$ を代入して，

$$\begin{align}(1 -x^2)^{-1/2} &= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{(-1)^k \cdot 1\cdot 3 \cdot\cdots \cdot(2k-1)}{2^k \cdot k!} (-x^2)^k\\&= \sum_{k = 0}^\infty \dfrac{1\cdot 3 \cdot\cdots \cdot(2k-1)}{2^k \cdot k!} x^{2k}\end{align}$$

収束半径は1ですね。