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単振り子の楕円積分の問題ですね。


高校物理だと、単振り子の振れ幅 ϕ\phi が十分小さい場合には、その周期を

T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}

で表せて、「周期はおもりの質量には依存しない」などと習いますが...ϕ\phi が小さくない場合にはそうは行かない!というのがこの問題のミソです。


さて、実際に楕円関数の計算をしてみましょう。

与えられた式は

T=4lg0π2dϕ1k2sin2ϕT = 4 \sqrt{\dfrac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d \phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin ^2 \phi}}

分母のルートの扱いがポイントです。テイラー展開(特にマクローリン展開)しましょう。

11k2sin2ϕ=(1k2sin2ϕ)12=1+12k2sin2ϕ+38k4sin4ϕ+1548k6sin6ϕ+=n=0(2n1)!!(2n)!!k2nsin2nϕ\begin{aligned}\dfrac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin ^2 \phi}} &= \left( 1 - k^2 \sin^2 \phi \right)^{-\frac{1}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{1}{2} k^2 \sin^2 \phi + \dfrac{3}{8} k^4 \sin^4 \phi + \dfrac{15}{48} k^6 \sin^6 \phi + \dots \\&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} k^{2n} \sin^{2n} \phi\end{aligned}


5!!=531=15,6!!=642=485!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15, 6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48 という意味です。


※このマクローリン展開がわからない場合はマクローリン展開について調べましょう。→https://manabitimes.jp/math/570


さて、この式を使って一気に計算を進めていきます。

T=4lg0π2dϕ1k2sin2ϕ=4lg0π2n=0(2n1)!!(2n)!!k2nsin2nϕdϕ=4lgn=0(2n1)!!(2n)!!k2n0π2sin2nϕdϕ=4lgn=0(2n1)!!(2n)!!k2nπ2(2n1)!!(2n)!!=2πlgn=0[(2n1)!!(2n)!!]2k2n=2πlg[1+(12)2k2+(1324)2k4+(135246)2k6+]\begin{aligned}T &= 4 \sqrt{\dfrac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d \phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin ^2 \phi}} \\&= 4 \sqrt{\dfrac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} k^{2n} \sin^{2n} \phi \, d \phi \\&= 4 \sqrt{\dfrac{l}{g}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} k^{2n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} \phi \, d \phi \\&= 4 \sqrt{\dfrac{l}{g}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} k^{2n} \cdot \dfrac{\pi}{2} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \\&= 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right]^2 k^{2n} \\&= 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \left[ 1 + \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 k^2 + \left( \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 k^4 + \left( \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 k^6 + \dots \right]\end{aligned}


示せました。


途中式で

0π2sin2nϕdϕ=(2n1)!!(2n)!!π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} \phi \, d \phi = \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \dfrac{\pi}{2}

を使用していますが、これは高校数学の学習範囲内なので既知(自明)として計算は省略しました。

返信(2件)

T=T= \cdots の式の上から3行目でシグマを積分の外に出していますが、これは必ずしも正しいとはいえない操作(今回の場合はOKですが...)なので、レポートでは断りを入れておくと良いでしょう。


「ベキ級数

n=0(2n1)!!(2n)!!k2nsin2nϕ\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} k^{2n} \sin^{2n} \phi

k<1k < 1 で一様収束するので」


と書いておけばOKです

補足

紙をよく見ると「ヒント」のところに「項別積分することができる」と書いてありましたね。同じ意味なので断りはいらない(or ヒントより)などで十分そうです!

丁寧な解説ありがとうございます!

参考にさせていただきます!

本当にありがとうございました!

質問者からのお礼コメント

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丁寧な説明ありがとうございました

わからなくてとても焦っていました

感謝しております

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