写真の関数列についてですが、n→∞のとき各点でgn(x)→0と収束するとのことなのですが、確かに1行目と3行目の式については0になりますが、2行目の式についてはn→∞のときx≒0にりますが、2nの項が無限大に発散してしまいます。なぜ、gn(x)→0と言えるのでしょうか？

任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して $g_n(0)=0$ であることから

$$\lim_{n\to \infty}(g_n(0))=0.$$

$x>0$ とすると $2/N\leq x$ となるような $N\in \mathbb{N}$ をとれば, 任意の自然数 $n>N$ に対して $2/n<2/N\leq x$, したがって $g_n(x)=0$ であることから

$$\lim_{n\to \infty}(g_n(x))=0.$$

以上より, 任意の $x\geq 0$ に対して $\lim_{n\to\infty}(g_n(x))=0$, すなわち $g_n$ は各点で $0$ に収束します.

関数の振る舞いを見ると, 最大値がどんどん大きくなってはいますが, 点ごとの振る舞いを見ると, $x>0$ であるようなどの点も $n$ を十分大きくすると区間 $[2/n,\infty)$ に飲み込まれていますから, 各点での極限は $0$ ということです.

質問文に一行目の式が $0$ になると書かれているので念のため言っておきますが, $g_n$ の区間 $[0,2/n]$ でのグラフは, こう言うと語弊がありますが, $3$点 $(0,0)$, $(1/n,n)$, $(2/n,0)$ を頂点とした三角形です.