恐れ入ります. 理解不足で変なことを聞いているかもしれませんが...

$\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_i-\bar{y})(y_{i-j}-\bar{y})$

と、

$\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_{t_i}-\bar{y_t})(y_{t-j_i}-\bar{y_{t-j}})$

はよくよく考えると同じなんですけど、表現は上の式の方が的を射ています

上の式ではデータを

$[(y_1,y_{1-j}),(y_2,y_{2-j}),\cdots,(y_N,y_{N-j})]$

としています。

一方下の式では、

$[(y_{t_1},y_{(t-j)_1}),(y_{t_2},y_{(t-j)_2}),\cdots,(y_{t_N},y_{(t-j)_N})]$

つまり、$t_i=i,(t-j)_i=i-j$です

$(Y_t,Y_{t-j})$がラグ$j$の時系列データであることを、正しく踏まえているのは上の式になります