恐れ入ります. 理解不足で変なことを聞いているかもしれませんが... 教えてください. 共分散 $cov(X, Y)$

Question

恐れ入ります. 理解不足で変なことを聞いているかもしれませんが...

教えてください.

共分散

$cov(X, Y)$

に対応する標本共分散は

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$

なのに,

時系列データのラグ $j$ の自己共分散

$cov(Y_t, Y_{t-j})$

に対応する標本自己共分散は

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\bar{y})(y_{i-j}-\bar{y})$

なのはなぜでしょうか？

共分散と同じ流れで行くと

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_{t_i}-\bar{y_t})(y_{(t-j)_{i}}-\bar{y_{t-j}})$

になりそうなのですが...

@ontama_udon · Answer

と、

$\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_{t_i}-\bar{y_t})(y_{t-j_i}-\bar{y_{t-j}})$

はよくよく考えると同じなんですけど、表現は上の式の方が的を射ています

上の式ではデータを

$[(y_1,y_{1-j}),(y_2,y_{2-j}),\cdots,(y_N,y_{N-j})]$

としています。

一方下の式では、

$[(y_{t_1},y_{(t-j)_1}),(y_{t_2},y_{(t-j)_2}),\cdots,(y_{t_N},y_{(t-j)_N})]$

つまり、 $t_i=i,(t-j)_i=i-j$ です

$(Y_t,Y_{t-j})$ がラグ $j$ の時系列データであることを、正しく踏まえているのは上の式になります