一部でもいいので、以下の問題の模範解答を使ってください。

では大問2の模範解答を作ります。

(2)→(1)→(3)の順で解く方がやりやすいので、そのように解答させていただきます。

(2)

運動方程式、

$$m \dfrac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} = \boldsymbol{F}$$

の両辺に$\boldsymbol{v}$との内積をとり、時間積分すると、

$$\dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \int_{C} \bm{F} \cdot d\bm{r}$$

となる。ただし、$C$は物体の運動に沿った経路である。右辺の被積分関数はヘルムホルツの分解定理よりベクトル場$\boldsymbol{A}$とスカラー場$\phi$によって、

$$\boldsymbol{F} = -grad\phi + rot\boldsymbol{A}$$

と表すことができる。よって、

$$\int_{C} \bm{F} \cdot d\bm{r} \\=\int_{C} (-grad\phi + rot\boldsymbol{A}) \cdot d\bm{r}\\= \int_{C}(-grad\phi) \cdot d\bm{r}+ \int_{C} (rot\boldsymbol{A}) \cdot d\bm{r}$$

とできる。この量が状態量であるならば閉曲線に沿った経路$\partial S$について、

$$\int_{\partial S} \bm{F} \cdot d\bm{r} = 0$$

が成立しなければならない。また、この式の左辺はストークスの定理より、

$$\int_{\partial S} \bm{F} \cdot d\bm{r} = \int_{S} rot\bm{F} \cdot d\bm{S}$$

とできる。ただし、$S$は$\partial S$によって囲まれた面領域であり、$\bm{S}$は面積を大きさとしてもち、面の法線方向を向くベクトルである。一般の閉曲線経路について成り立つ必要があるため、

$$rot\bm{F} = \bm{0}$$

でなくてはならない。この条件を、

$$\int_{C} \bm{F} \cdot d\bm{r} \\= \int_{C}(-grad\phi) \cdot d\bm{r}+ \int_{C} (rot\boldsymbol{A}) \cdot d\bm{r}$$

に課すと、

$$rot\bm{F}\\= rotgrad\phi + rotrot\bm{A}\\=rotrot\bm{A} \ \ \because rotgrad\phi = 0\\= 0\\\therefore rot\bm{A} = -grad\chi$$

を得る。ここで、$\chi$は任意のスカラー場である。よって、

$$\psi = \phi + \chi$$

と新たなスカラー場$\psi$を定義すれば、

$$\int_{C} \bm{F} \cdot d\bm{r} \\= \int_{C}(-grad\psi) \cdot d\bm{r}\\= -\int_{t_0}^{t}\bm{v}\cdot grad\psi\ dt\\= -\int_{t_0}^{t}\dot{\psi}\ dt\\= \psi(\bm{r}(t_0)) - \psi(\bm{r}(t))$$

とできる。ただし、$t_0 , t$は運動の開始時刻と終了時刻である。このスカラー場$\psi$が一般にポテンシャルと定義され、条件を満たす$\bm{F}$は保存力と定義される。□

(1)

(2)の解答より条件は、

$$rot\bm{F} = 0$$

であったが、2次元では、ストークス定理の代わりにグリーンの定理を使用して、

$$\partial_x F_y - \partial_y F_x = 0$$

が条件であることを示せる。$F_x$ , $F_y$は、

$$\partial_x F_y - \partial_y F_x = Ax - Ax = 0$$

となるため、保存力である。□

(3)

$\bm{F}$が保存力なのでポテンシャル$U(x , y)$は、

$$\int_{C} \bm{F} \cdot d\bm{r}\\= \int_{0}^{x}F_x dx + \int_{0}^{y}F_y dy\\= \dfrac{A}{2} x^2 y + \dfrac{A}{2} x^2 y\\= Ax^2 y$$

である。