一般相対性理論の固有時について、疑問に思ったことがあったので質問させていただきます。私の持っている参考書では一般相対性理論での固有時が、

$d\tau=\dfrac{1}{c}\sqrt{g_{00}}dx^0$

と定義されているのですが、特殊相対性理論では空間的な微小変位$dx^1、dx^2、dx^3$も含めて固有時と定義されていました。

なぜ一般相対性理論では時間成分のみを抜き出して固有時と定義されているのでしょうか？

また、一般相対性理論で速度持った物体の固有時はどのようになるのでしょうか？