この式の解き方がわからないです。

こんにちは．お答えします．

$$\begin{aligned}y \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1}{x}\\\int ydy &= \int \dfrac{dx}{x}\\\dfrac{1}{2} y^2 &= \log x + C'\\y^2 = 2 \log x + C\end{aligned}$$

と変形できます．

微分方程式を解くときは，$y'$ を $\dfrac{dy}{dx}$ と書き直すと見通しが良くなるかもしれません．